简单易懂地向你解释：离散函数，差分，二阶差分和 Laplacian 滤波原理

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若有写的不对的还望指正！

离散函数

什么是离散函数？咱们来看几个例子:

这是 $f(x) = \sin x + \sin {x \over 2}$ 的函数图像。它的定义域是 $R$，是连续的。

再看下图这是 $f(x) = \sin x + \sin {x \over 2}$ 当 $x$ 是 $1\over2$ 的整数倍时的图像。是离散的。这样的定义域是离散集合的函数，称为离散函数。

若是再苛刻一点，定义域是天然数集，值域是实数域，那么这样的函数就是离散数值函数

差分和二阶差分

什么是差分

差分就是相邻两个离散值的差。以函数 $f(x) = x^2,\ x\in Z$为例

$x$	$f(x)$
1	1
2	4
3	9
4	16
5	25

对于 $x = 1$，咱们能够知道：

$f(1) = 1 \\f(1 + 1) = 4$

那么差分

$\Delta f(1) = f(1+1) - f(1) = 4 - 1 = 3$

内容补充

这样用$x+1$和 $x$做差的差分，称为向前差分，记号是$\Delta$。另有：

$f(x_i) - f(x_i - h)$：向后差分，记做 $\nabla。$

$f(x_i + h) - f(x_i - h)$ ：中心差分。

若是进行一次泰勒展开，还能获得一阶微分的中心差商，可用于更高精度要求。有兴趣的能够自行了解。

以此类推，可得：

$x$	$f(x)$	$\Delta f(x)$
1	1	3
2	4	5
3	9	7
4	16	9
5	25	$\dots$

你会发现执行一次差分以后，差分值为等差数列。实际上运用这个特色可让电路进行求导等数学操做，神奇吧？

咱们对$\Delta f(x)$ 也执行差分，也就是差分的差分，称为二阶差分。

由此可得：

$x$	$f(x)$	$\Delta f(x)$	$\Delta ^2f(x)$
1	1	3	2
2	4	5	2
3	9	7	2
4	16	9	$\dots$
5	25	$\dots$	$\dots$

二阶差分以后，咱们获得了常数列。能够发现差分的做用和求导是十分相似的。

偏导数的差分形式

在实际问题中，咱们经常要面对不止一个自变量。好比图像处理中的像素，须要面对$x,\ y$两个自变量。这个时候能够把差分看做相似微分的东西。那么咱们对 $x$ 求差分的偏导能够有：

$$ {\delta f\over\delta x} = {f(x, y) - f(x -1, y)\over1} $$

因为函数是离散的，因此分母的增量是 $0$。

咱们把 $y$ 也考虑进来：

$$ {\delta f\over\delta x} = {f(x, y) - f(x -1, y)}\\ {\delta f\over\delta y} = {f(x, y) - f(x , y - 1)} $$

则二维的一阶差分（向后的）能够表示为：

$$ \begin{align} \nabla f(x,y) & = {\delta f\over\delta x}+ {\delta f\over\delta y} \\ & = 2{f(x, y) - f(x -1, y)} - f(x , y - 1) \end{align} $$

实际使用时，可使用向后差分，也可使用向前差分：

$$ \begin{align} \nabla f(x,y) & = {\delta f\over\delta x}+ {\delta f\over\delta y} \\ & = - 2{f(x, y) + f(x -1, y)} + f(x , y - 1) \end{align} $$

也有人叫它导数，我以为差分更能体现离散型。不过，你们明白意思就好。

拉普拉斯滤波

差分和导数相似，能够反映变化的快慢。对灰度不一样的两个像素进行差分，获得的值就是两个像素的过渡急缓。而过分急剧的地方，每每就是图像中物体的边缘，所以咱们认为：一阶差分能够检测边缘存在的可能性。这是一阶差分在这里的实际意义。

那么若是是二阶差分呢？在物理学中，对于位移$\vec{x}$和时间$t$，一阶导数表示速度，二阶差分表示速度的导数加速度。一样的，在图像处理上，一阶差分表示相邻像素的过渡急缓，二阶差分就表示这种过分急缓的变化强弱，可能你仍是不明白，不要紧，咱们会在下面进一步解释。

若是一阶差分就能检测边缘，咱们为何还要二阶差分呢？

咱们看下面的图：

这是一张从白到黑均匀渐变的图案，若是交给一阶差分来从上往下分析，会发现差分值一直都存在。因而一阶差分滤波器告诉你：这里全是边缘。可是这和咱们的常识是不符的，由于虽然灰度变化了，可是变化的趋势倒是均匀的。那么怎么样才能正确判断这是否是边缘呢？聪明的你应该想到了，用二阶差分来看，差分值一直是 0，说明变化是十分均匀的，说明边缘并不存在。所以，二阶差分才是真能肯定边缘的存在性。

如今知道了它的做用，咱们怎么计算二阶差分呢？显然的，对一阶差分再算一次差分就好了，具体的操做咱们在上一节的表格里列过，用数学语言表达，对于 $x$ 的二阶误差分就是：

$$ \begin{align} \frac{\partial^2f}{\partial x ^2} & =\frac{\partial f'(x)}{dx^2}=f'(x+1)-f'(x)\\ & =f((x+1)+1)-f((x+1))-(f(x+1)-f(x))\\ & =f(x+2)-f(x+1)-f(x+1)+f(x) \\ & =f(x+2)-2f(x+1)+f(x) \end{align} $$

令 $x=x-1$ 得：

$$ \frac{\partial^2f}{\partial x ^2}=f(x+1)+f(x-1)-2f(x) $$

同理获得对$y$ 的二阶差分。故有：

$$ \frac{\partial^2f}{\partial x ^2}=f(x+1,y)+f(x-1,y)-2f(x,y)\\ \frac{\partial^2f}{\partial y ^2}=f(x,y+1)+f(x,y-1)-2f(x,y) $$

综合可得：

$$ \begin{align} \Delta^2 f(x,y) & = \frac{\partial^2f}{\partial x ^2}+\frac{\partial^2f}{\partial y ^2} \\ &=f(x+1,y)+f(x-1,y)+f(x,y+1)+f(x,y-1)-4f(x,y) \end{align} $$

这个东西就是拉普拉斯掩膜重心系数，简称拉普拉斯算子，以窗口（窗口的概念，见高斯滤波原理章节）中心元素为坐标原点，将窗口中各个元素带入，便可获得窗口的权重模板，也称核（Kernel）。

一个 8 邻域的窗口核以下：

$$ k = \left[ \begin{matrix} -1 & -1 & -1 \\ -1 & 8 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \\ \end{matrix} \right] $$

以此核进行滤波，便可对图像进行锐化。（提醒：结果中有负值部分，记得进行归一化，以避免形成缺失）