分治算法

分治算法

分治算法（Divide And Conquer）是解决规模庞大的问题的很好的思路，它经过下降问题的规模，造成若干个规模更小但形式相同的子问题，进行递归求解。在求解事后，将各个子问题的解合并起来，造成原问题的解。

那么它的大体流程主要分红三步：

• 分解（Divide）将大规模的问题分解成若干个规模更小但形式相同的子问题
• 解决（Conquer）若是当前问题的规模足够小，并能够直接解决的话，那么直接解决并返回解。不然，继续进行分解并递归求解分解后的子问题。
• 合并（Merge）将各个子问题合并，最终造成原问题的解。

分治算法通常来讲会采用递归法来进行实现，固然利用迭代法（好比for、while）也是能够的。因此，咱们每每看到的递归算法从广义上来讲都是分治算法。无非就是有些递归算法将问题分解了若干个子问题，然而有些递归算法将问题分解成了一个子问题。

应用场景

• 二分查找
• 合并排序
• 快速排序
• 大整数乘法
• Strassen矩阵乘法
• 棋盘覆盖
• 线性时间选择
• 最接近点对问题
• 循环赛日程表
• 汉诺塔

例子：数列的最大子序列和

给定一个整数数组，找出总和最大的连续数列，并返回总和。

输入： [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出： 6
解释： 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。

本题比较优的解法是动态规划，咱们尝试用分治算法进行解决。

咱们把数组分割成两边，那么结果出现的区域，彻底在左边、彻底在右边、包括中间两个节点的左右两部分

public class Test1617 {

    public static void main(String[] args) {
        Test1617 test = new Test1617();

        int[] nums = {-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4};
        System.out.println(test.maxSubArray(nums));
    }

    public int maxSubArray(int[] nums) {
        if (nums.length == 0) {
            return 0;
        }

        return divide(nums, 0,nums.length-1);
    }

    private int divide(int[] nums, int left, int right) {
        if (left == right) {
            return nums[left];
        }

        int mid = (left + right) >> 1;
        // 1.左边最大的子序列
        int leftMaxSum = divide(nums, left, mid);
        // 2.右边最大的子序列
        int rightMaxSum = divide(nums, mid+1, right);

		// 3.最大数列和在中间
        // 包括中间的，左边部分最大
        int sum = nums[mid];
        int leftMidSum = sum;
        for (int i=mid-1; i>=left; i--) {
            sum += nums[i];
            leftMidSum = Math.max(leftMidSum, sum);
        }

        // 包括中间的，右边部分最大
        sum = nums[mid+1];
        int midRightSum = sum;
        for (int i=mid+2; i<=right; i++) {
            sum += nums[i];
            midRightSum = Math.max(midRightSum, sum);
        }

        return Math.max(Math.max(leftMaxSum, rightMaxSum), leftMidSum+midRightSum);
    }

}

参考资料

• https://blog.ihuxu.com/divide-and-conquer-backtracking-and-dynamic-programming-from-a-frog-jumping-out/
• https://leetcode-cn.com/problems/contiguous-sequence-lcci/
• https://database.51cto.com/art/202010/629070.htm