算法导论-动态规划(钢条切割问题）

  动态规划(dynamic programming)与分之方法类似，都是经过组合子问题的解来求解原问题。分治方法将问题划分为互不相交的子问题，递归地求解子问题，再将它们的解组合起来，求出原问题的解(如归并排序)。而动态规划应用于子问题重叠的状况，即不一样的子问题具备公共的子子问题(子问题的求解是递归进行的，将其划分为更小的子子问题)。在这种状况下，分治算法会作许多没必要要的工做，它会反复地求解那些公共子子问题。而动态规划算法对每一个子子问题只求解一次，将其解保存在一个表格中，从而无需每次求解一个子子问题时都从新计算，避免了没必要要的计算工做。

    一般按以下4个步骤来设计一个动态规划算法：

    1.刻画一个最优解的结构特征。

    2.递归地定义最优解的值。

    3.计算最优解的值，一般采用自底向上的方法。

    4.利用计算出的信息构造一个最优解。

例子：钢条切割问题

    描述：给定一段长度为n英寸的钢条和一个价格表p_i(i = 1,2,3...,n)求切割钢条方案，使得销售收益r_n最大。

    钢条价格表

长度i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
价格pi	1	5	8	9	10	17	17	20	24	30

   若是一个最优解将钢条切割为k段(1≤k≤n)，那么最优切割方案 n = i₁ + i₂ + i₃ +...+ i_k，获得最大收益 r_n  = p_i1 + p_i2 + p_i3 + ... + p_ik。更通常地，对于 r_n(n ≥ 1)，咱们能够用更短的钢条的最优切割收益来描述它：r_n = max(p_{n ，} r₁ + r_n-1 ， r₂ + r_n-2， ...， r_n-1 + r₁)，第一个参数p_n对应不切割，直接出售长度为n的钢条的方案。其余n-1个参数对应另外n-1种方案：对每一个i  = 1，2，...，n-1，首先将钢条切割为长度为i 和 n -i 的两段，接着求解这两段的最优切割收益r_i 和r_n-i。因为没法预知哪一种方案会得到最优收益，咱们必须考察全部可能的i，选取其中收益最大者。

    注意到，为求解规模为n的原问题，咱们先求解形式彻底同样，但规模更小的子问题。即当完成首次切割后，咱们将两段钢条当作两个独立的钢条切割问题实例。经过组合两个关于子问题的最优解，并在全部可能的切割方案中选取组合收益最大者，构成原问题的最优解。动态规划方法仔细安排求解顺序，对每一个子问题只求解一次，并将结果保存下来。是付出额外的内存空间来节省计算时间。有两种等价的实现方法：

       一，带备忘的自顶向下法。此方法按天然的递归形式编写过程，但过程会保存每一个子问题的解，当须要一个子问题的解时，过程首先检查是否已经保存过此解。若是是，则直接返回保存的值，从而节省了计算时间；不然，按一般方式计算这个子问题。

       二，自底向上法。这种方法通常须要恰当定义子问题"规模"的概念，使得任何子问题的求解只依赖于"更小"的子问题的求解。于是能够将子问题按规模排序，按由小到大的顺序进行求解。当求解某个子问题时，它所依赖的那些更小的子问题都已求解完毕，结果已经保存。

自底向上法代码以下：

 1 void bottomUpCutRod(const vector<int> &p,int n , vector<int> &r)
 2 {
 3     r.resize(n+1);
 4     r[0] = 0;
 5     int q = -1;
 6 
 7     for(int j = 1; j <= n; ++j){
 8         q = -1;
 9         for(int i = 1; i <= j; ++i){
10             q = std::max(q,p[i] + r[j-i]);
11         }
12         r[j] = q;
13     }
14 }

例子：

1 int main()
2 {
3     int p[] = {-1,1,5,8,9,10,17,17,20,24,30};
4     vector<int> vp(p,p + sizeof(p)/sizeof(int));
5     vector<int> result;
6     bottomUpCutRod(vp,9,result);
7     for(int i = 1; i <=9; ++i)
8         cout << result[i] << " ";
9 }

结果保存在result数组中，长度为i的钢条切割的最优收益值为result[i]。

输出：