[APIO2015]雅加达的摩天楼

题目描述

印尼首都雅加达市有 NNN 座摩天楼，它们排列成一条直线，咱们从左到右依次将它们编号为 000 到 $N − 1$ 。除了这 NNN 座摩天楼外，雅加达市没有其余摩天楼。

有 MMM 只叫作 “doge” 的神秘生物在雅加达市居住，它们的编号依次是 000 到 $M − 1$ 。编号为 iii 的 doge 最初居住于编号为 BiB_iBi​ 的摩天楼。每只 doge 都有一种神秘的力量，使它们可以在摩天楼之间跳跃，编号为 iii 的 doge 的跳跃能力为 PiP_iPi​ （ Pi>0P_i > 0Pi​>0 ）。

在一次跳跃中，位于摩天楼 bbb 而跳跃能力为 ppp 的 doge 能够跳跃到编号为 $b − p$ （若是 $0 \leq b − p < N$ ）或 b+pb + pb+p （若是 0≤b+p<N0 \leq b + p < N0≤b+p<N ）的摩天楼。

编号为 000 的 doge 是全部 doge 的首领，它有一条紧急的消息要尽快传送给编

号为 111 的 doge。任何一个收到消息的 doge 有如下两个选择:

跳跃到其余摩天楼上；

将消息传递给它当前所在的摩天楼上的其余 doge。

请帮助 doge 们计算将消息从 000 号 doge 传递到 111 号 doge 所须要的最少总跳跃步数，或者告诉它们消息永远不可能传递到 111 号 doge。

输入输出格式

输入格式：

输入的第一行包含两个整数 NNN 和 MMM 。

接下来 MMM 行，每行包含两个整数 BiB_iBi​ 和 PiP_iPi​ 。

输出格式：

输出一行，表示所须要的最少步数。若是消息永远没法传递到 111 号 doge，输出 $−1$ 。

输入输出样例

输入样例#1： 复制

5 3
0 2
1 1
4 1

输出样例#1： 复制

5

说明

【样例解释】

下面是一种步数为 555 的解决方案：

000 号 doge 跳跃到 222 号摩天楼，再跳跃到 444 号摩天楼（ 222 步）。

000 号 doge 将消息传递给 222 号 doge。

222 号 doge 跳跃到 333 号摩天楼,接着跳跃到 222 号摩天楼，再跳跃到 111 号摩天楼（ 333 步）。

222 号 doge 将消息传递给 111 号 doge。

【数据范围】

全部数据都保证 $0≤Bi<N0 \leq B_i < N0≤Bi​<N $。

子任务 1 （10 分） $1≤N≤101 \leq N \leq 101≤N≤10$

$1≤Pi≤101 \leq P_i \leq 101≤Pi​≤10$

$2≤M≤32 \leq M \leq 32≤M≤3$

子任务 2 （12 分）$1≤N≤1001 \leq N \leq 1001≤N≤100$

$1≤Pi≤1001 \leq P_i \leq 1001≤Pi​≤100$

$2≤M≤20002 \leq M \leq 20002≤M≤2000$

子任务 3 （14 分） $1≤N≤20001 \leq N \leq 20001≤N≤2000$

$1≤Pi≤20001 \leq P i ≤ 20001≤Pi≤2000$

$2≤M≤20002 \leq M \leq 20002≤M≤2000$

子任务 4 （21 分） $1≤N≤20001 \leq N \leq 20001≤N≤2000$

$1≤Pi≤20001 \leq P_i \leq 20001≤Pi​≤2000$

$2≤M≤300002 \leq M \leq 300002≤M≤30000$

子任务 5 （43 分） $1≤N≤300001 \leq N \leq 300001≤N≤30000$

$1≤Pi≤300001 \leq P_i \leq 300001≤Pi​≤30000$

$2≤M≤300002 \leq M \leq 300002≤M≤30000$

首先对于一个(i,p)，若是暴力建边，复杂度$O(mn)$

首先考虑分块

若是p大于$n^{\frac{1}{2}}$那么直接建边$O(n^{\frac{1}{2}})$

若是p小于$n^{\frac{1}{2}}$

首先有一个思路就是设vis[i][p]表示是否考虑过(i,p)

这样就不会重复建边，边数最多$m*n^{\frac{1}{2}}*log$

这样简单易懂，但空间却不够

若是不是捆绑测试就能拿不少分

因而转化建边思路，在p小于$n^{\frac{1}{2}}$

每一个点建$n^{\frac{1}{2}}$个辅助点，设为<i,p>点

事先这样建边

1.给每一个<i,p>向$i$连边，权为0

2.给每一个<i,p>与<i+p,p>建双向边

若是有一个doge是(i,p)的，那么

$i$连<i,p>,边权为0

这样建边保证跑最短路时从i跳到i+p,能够直接从辅助点

并且保证了一个路径必然是从有doge的地方出发的，否则根本到不了相应的辅助点

这样边数保证在$m*n^{\frac{1}{2}}$

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<cmath>
 6 #include<queue>
 7 using namespace std;  8 struct Node  9 { 10   int next,to,dis; 11 }edge[30001*101*5]; 12 int dist[30001*101],lim,S,T,inf,head[30001*101],n,m,num,cnt; 13 bool vis[30001][101]; 14 queue<int>Q; 15 bool viss[30001*101]; 16 int get_id(int x,int y) 17 { 18   return y*n+x; 19 } 20 void add(int u,int v,int dis) 21 { 22   num++; 23   edge[num].next=head[u]; 24   head[u]=num; 25   edge[num].to=v; 26   edge[num].dis=dis; 27 } 28 void SPFA() 29 {int i; 30   memset(dist,127/3,sizeof(dist)); 31  Q.push(S); 32   inf=dist[0]; 33   memset(viss,0,sizeof(viss)); 34   dist[S]=0; 35   while (Q.empty()==0) 36  { 37       int u=Q.front(); 38  Q.pop(); 39       viss[u]=0; 40       for (i=head[u];i;i=edge[i].next) 41  　　{ 42       　　int v=edge[i].to; 43       　　if (dist[v]>dist[u]+edge[i].dis) 44  　　{ 45           　　dist[v]=dist[u]+edge[i].dis; 46           　　if (viss[v]==0) 47  　　　　{ 48           　　　　viss[v]=1; 49  　　　　Q.push(v); 50  　　　　} 51  　　} 52  　　} 53  } 54 } 55 int main() 56 {int i,b,p,j; 57   cin>>n>>m; 58   lim=min((int)sqrt(n),100); 59   for (i=1;i<=n;i++) 60     for (j=1;j<=lim;j++) 61       add(get_id(i,j),i,0); 62   for (i=1;i<=n;i++) 63     for (j=1;j<=lim;j++) 64       if (i+j<=n) 65     add(get_id(i,j),get_id(i+j,j),1),add(get_id(i+j,j),get_id(i,j),1); 66   for (i=0;i<m;i++) 67  { 68       scanf("%d%d",&b,&p); 69       b++; 70       if (i==0) S=b; 71       if (i==1) T=b; 72       if (p>lim) 73     　　{cnt=0; 74       　　for (j=b;j+p<=n;j+=p) 75  　　{ 76           　　add(b,j+p,++cnt); 77  　　} 78       　　cnt=0; 79       　　for (j=b;j-p>0;j-=p) 80  　　{ 81           　　add(b,j-p,++cnt); 82  　　} 83  　　} 84       else
85  　　{ 86       　　add(b,get_id(b,p),0); 87  　　} 88  } 89  SPFA(); 90   if (dist[T]==inf) cout<<-1; 91   else 
92   cout<<dist[T]; 93 }