线性代数回头看——线性方程组

一、线性方程组概述

线性方程组：包含未知数x1，x2，x3....xn的线性方程

　　其中b与系数a1，a2，a3...an是实数或复数，一般是已知的；下标n能够为任意数；线程方程组为由一个或几个包含相同变量x1，x2，x3....xn的线性方程组组成；
线性方程组的解分为相容、与不相容两种状况；
　　相容： 一、惟一解；二、无穷解
　　不相容： 无解

线性方程组矩阵表示
　　可使用矩阵来表示线性方程组：
　　系数矩阵：只包含方程组系数的矩阵
　　增广矩阵：在系数矩阵的基础上加上线性方程组右边的常数组成的矩阵

二、解线性方程组

　　经过使用矩阵表示线性方程组，对矩阵使用行初等变换，把矩阵行化简为：行阶梯形矩阵或简化行阶梯形矩阵；

初等行变换：
　　一、倍加变换——把某行换成它自己与另外一行的倍数和
　　二、对换变换——两行对换
　　三、倍乘变换——某一行的全部元素乘以同一个非零数
行阶梯形矩阵：
　　一、每一非零行在每一零行之上
　　二、某一行的最左边非零元素所在列在上面一行非零元素的右边
　　三、某一最左边非零元素所在列下方都是零
　　简化阶梯形为在行阶梯形矩阵的基础上进一步简化：
　　一、每一非零行最左边非零元素为1
　　二、每一最左边非零元素1是该元素所在列的惟一非零元素
同一个矩阵使用不一样的方法化简，存在不一样的行阶梯形，但简化阶梯形只存在一个；

行阶梯形相关概念:

　　主元位置：最左边非零元素位置
　　主元列：主元所在列
　　主元：主元位置的非零元素

　　线性方程组行简化后不必定每一个方程组都存在解，若存在解则称该线性方程组相容，线性方程组相容，当且仅当：化简后的增广矩阵最右列不是主元列；
　　根据行简化获得行阶梯形矩阵或简化行阶梯形矩阵，咱们能够把线性方程组中的变量称为：基本变量、自由变量；

　　基本变量：主元列所在的变量
　　自由变量：非主元列的变量

三、线性组合

　　A为m*n矩阵，矩阵各列为：a一、a二、a3...、an，x为Rn中的向量，则A与x的乘积为Ax，为A的各列以x对应元素为权的线性组合；

线性方程Ax=b，有解当且仅当b为矩阵A各列的线性组合；

齐次线性方程组：

若线性方程组能够写成Ax=0的形式，则该线性方程组为齐次的；

　　平凡解：若Ax=0仅有x=0一个解，也称为平凡解
　　非平凡解：若Ax=0存在一个非x=0的解，即x为非零向量

Ax=0有非平凡解，当且仅当线性方程至少存在一个自由变量

四、线性无关

线性无关：矩阵的各列线性无关，仅当Ax=0仅存在平凡解时成立
线性相关： Ax=0存在非平凡解

一个或两个向量集合：
　　存在其中一个向量是另外一个向量的倍数时线性相关，不然线性无关；
两个或更多向量集合：
　　一、向量集合中至少有一个向量是其余的线性组合
　　二、向量组的个数超过每一个向量元素的个数
　　A为n*p矩阵，Ax=0方程有p个未知量，n个方程，若p>n，一定存在自由变量，Ax=0必存在非平凡解，因此A的各列线性相关；
　　三、向量组包含零向量
知足这三个条件则线性相关；

参考资料：
线性代数及应用

文章首发地址：Solinx
http://www.solinx.co/archives/1152