二叉树及其遍历方法---python实现

github：代码实现
本文算法均使用python3实现

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1. 二叉树

1.1 二叉树的定义

  二叉树是一种特殊的树，它具备如下特色：
  （1）树中每一个节点最多只能有两棵树，即每一个节点的度最多为2。
  （2）二叉树的子树有左右之分，即左子树与右子树，次序不能颠倒。
  （3）二叉树即便只有一个子树时，也要区分是左子树仍是右子树。

1.2 满二叉树

  满二叉树做为一种特殊的二叉树，它是指：全部的分支节点都存在左子树与右子树，而且全部的叶子节点都在同一层上。其特色有：
  （1）叶子节点只能出如今最下面一层
  （2）非叶子节点度必定是2
  （3）在一样深度的二叉树中，满二叉树的节点个数最多，节点个数为： $ 2^h -1 $ ，其中 $ h $ 为树的深度。

1.3 彻底二叉树

  若设二叉树的深度为 $ h $ ，除第 $ h $ 层外，其它各层 $ (1～h-1) $ 的结点数都达到最大个数，第 $ h $ 层全部的结点都连续集中在最左边，这就是彻底二叉树。其具备如下特色：
  （1）叶子节点能够出如今最后一层或倒数第二层。
  （2）最后一层的叶子节点必定集中在左部连续位置。
  （3）彻底二叉树严格按层序编号。（可利用数组或列表进行实现，满二叉树同）
  （4）若一个节点为叶子节点，那么编号比其大的节点均为叶子节点。

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2. 二叉树的相关性质

2.1 二叉树性质

  （1）在非空二叉树的 $ i $ 层上，至多有 $ 2^{i-1} $ 个节点 $ (i \geq 1) $ 。
  （2）在深度为 $ h $ 的二叉树上最多有 $ 2^h -1 $ 个节点 $（k \geq 1) $ 。
  （3）对于任何一棵非空的二叉树,若是叶节点个数为 $ n_0 $ ，度数为 $ 2 $ 的节点个数为 $ n_2 $ ，则有: $ n_0 = n_2 + 1 $ 。

2.1 彻底二叉树性质

  （1）具备 $ n $ 个的结点的彻底二叉树的深度为 $ \log_2{n+1} $ 。.
  （2）若是有一颗有 $ n $ 个节点的彻底二叉树的节点按层次序编号，对任一层的节点 $ i ，（1 \geq i \geq n）$ 有：
    （2.1）若是 $ i=1 $ ，则节点是二叉树的根，无双亲，若是 $ i>1 $ ，则其双亲节点为 $ \lfloor i/2 \rfloor $ 。
    （2.2）若是 $ 2i>n $ 那么节点i没有左孩子，不然其左孩子为 $ 2i $ 。
    （2.3）若是 $ 2i+1>n $ 那么节点没有右孩子，不然右孩子为 $ 2i+1 $ 。

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3. 二叉树的遍历

  如下遍历以该二叉树为例：

3.1 前序遍历

  思想：先访问根节点，再先序遍历左子树，而后再先序遍历右子树。总的来讲是根—左—右
  上图先序遍历结果为为：$ 1,2,4,8,9,5,3,6,7 $
  代码以下：

def PreOrder(self, root):
        '''打印二叉树(先序)'''
        if root == None:
            return 
        print(root.val, end=' ')
        self.PreOrder(root.left)
        self.PreOrder(root.right)

3.2 中序遍历

  思想：先中序访问左子树，而后访问根，最后中序访问右子树。总的来讲是左—根—右
  上图中序遍历结果为为：$ 8,4,9,2,5,1,6,3,7 $
  代码以下：

def InOrder(self, root):
        '''中序打印'''
        if root == None:
            return
        self.InOrder(root.left)
        print(root.val, end=' ')
        self.InOrder(root.right)

3.3 后序遍历

  思想：前后序访问左子树，而后后序访问右子树，最后访问根。总的来讲是左—右—根
  上图后序遍历结果为为：$ 8,9,4,5,2,6,7,3,1 $
  代码以下：

def BacOrder(self, root):
        '''后序打印'''
        if root == None:
            return
        self.BacOrder(root.left)
        self.BacOrder(root.right)
        print(root.val, end=' ')

3.4 层次遍历（宽度优先遍历）

  思想：利用队列，依次将根，左子树，右子树存入队列，按照队列的先进先出规则来实现层次遍历。
  上图后序遍历结果为为：$ 1,2,3,4,5,6,7,8,9 $
  代码以下：

def BFS(self, root):
        '''广度优先'''
        if root == None:
            return
        # queue队列，保存节点
        queue = []
        # res保存节点值，做为结果
        #vals = []
        queue.append(root)

        while queue:
            # 拿出队首节点
            currentNode = queue.pop(0)
            #vals.append(currentNode.val)
            print(currentNode.val, end=' ')
            if currentNode.left:
                queue.append(currentNode.left)
            if currentNode.right:
                queue.append(currentNode.right)
        #return vals

3.5 深度优先遍历

  思想：利用栈，先将根入栈，再将根出栈，并将根的右子树，左子树存入栈，按照栈的先进后出规则来实现深度优先遍历。
  上图后序遍历结果为为：$ 1,2,4,8,9,5,3,6,7 $
  代码以下：

def DFS(self, root):
        '''深度优先'''
        if root == None:
            return
        # 栈用来保存未访问节点
        stack = []
        # vals保存节点值，做为结果
        #vals = []
        stack.append(root)

        while stack:
            # 拿出栈顶节点
            currentNode = stack.pop()
            #vals.append(currentNode.val)
            print(currentNode.val, end=' ')
            if currentNode.right:
                stack.append(currentNode.right)
            if currentNode.left:
                stack.append(currentNode.left)          
        #return vals

3.6 代码运行结果

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引用及参考：
[1]《数据结构》李春葆著
[2] http://www.cnblogs.com/polly333/p/4740355.html

写在最后：本文参考以上资料进行整合与总结，属于原创，文章中可能出现理解不当的地方，如有所看法或异议可在下方评论，谢谢！
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