计算机组成原理笔记——数制（Number Systems）

十进制系统

十进制系统即The Decimal System

在平常生活中，咱们天天都在使用逢十进一的数位（0、一、二、三、四、五、六、七、八、9）来表示数字，这种数制叫作十进制。
考察数字83的意义，能够表示成：
83 = (8 × 10) + 3
即八个10再加上一个3；
考察数字4728的意义，能够表示成：
4728 = (4 × 1000) + (7 × 100) + (2 × 10) + 8
即四个1000加上七个100再加上两个10再加上一个8。

从上得知，咱们能够说，十进制的基数（base/radix）为10。也即，十进制数是由每一个数位的数字乘以10的n次幂，n与数位的位置相关。例如：
83 = (8 × 10¹) + (3 × 10⁰)
83是由两个数位构成，最左边的数位为最高（有效）数位，这里是8；最右边的数位是最低（有效）数位，这里是3。最低数位的位置所对应的10的幂为0，从右往左依次加一。即，数位3为最低数位，故其10的幂为0，表示为3×10⁰；往左移动一位，数位为8，其10的幂为1，表示为8×10¹，将全部数位相加获得的和即该十进制数，也即，8×10¹+ 3×10⁰= 83
使用一样的方法拆解数字4728，表示以下：
4728 = (4 × 10³) + (7 × 10²) + (2 × 10¹) + (8 × 0²)

咱们使用一样的方法表示小数部分，只不太小数部分数位的10的幂为负数。其最大的数位的10的幂为-1，从左向右其数位的10的幂依次减1。例如：
0.256 = (2 × 10^-1) + (5 × 10^-2) + (6 × 10^-3)

在一个既有整数部分又有小数部分的十进制数中，其数位的10的幂也既有正数又有负数：
442.256 = (4 × 10²) + (4 × 10¹) + (2 × 10⁰) + (2 × 10^-1) + (5 × 10^-2) + (6 × 10^-3)

使用表格表示上述数字的数位位置和其10的幂的关系：

4	7	2	2	5	6
百位	十位	个位	十分位	百分位	千分位
102	101	100	10-1	10-2	10-3
position 2	position 1	position 0	position -1	position -2	position -3

通常的，十进制数使用X来表示：
$$X = \{...d_2d_1d_0d_{-1}d_{-2}d_{-3}...\}$$
X的值为：
$$X=\sum_{i}(d_i×10^i)$$

按位计数系统

按位计数系统即Positional Number Systems

十进制系统是按位计数系统的一种。
在一个按位计数系统中，每一个数字（Number）的数位（Digit）的位置使用i表示，数位的权用rⁱ表示。其中，r为数字的基数（base/radix）。

通常的，在该系统中，一个数字可表示为：
$$(...a_3a_2a_1a_0a_{-1}a_{-2}a_{-3}...)_r$$
其中，每个数位a_i都是一个整数，且0≤a_i≤r

该数字的值为：

$$ ... + a_3r^3 + a_2r^2 + a_1r^1 + a_0r^0 + a_{-1}r^{-1} + a_{-2}r^{-2} + a_{-3}r^{-3} + ... = \sum_i(a_i × r^i) $$

二进制系统

二进制系统即The Binary System

在十进制系统中，每一个数位有十个数能够表示，即0~9。在二进制系统中，每一个数位只有0或者1这两个数来表示。
为了不在表达过程当中引发的数制概念混乱，咱们给每一个数字加上数制下标。例如，十进制数83和4728，咱们使用83₁₀和4728₁₀表示。

二进制数中的1和0在十进制中的意义相同：
0₂ = 0₁₀
1₂ = 1₁₀

若是要使用二进制数字表示十进制数字中更大的数字（>2），明显的，在二进制中则须要进位了：

$$ 10_2 = (1 × 2^1) + (0 × 2^0) = 2_{10} \\ 11_2 = (1 × 2^1) + (1 × 2^0) = 3_{10} \\ 100_2 = (1 × 2^2) + (0 × 2^1) + (0 × 2^0) = 4_{10} $$

小数部分依然使用10的负次幂表示，这里再也不举例。
通常的，使用二进制表示数字：

$$ Y = \{...b_2b_1b_0b_{-1}b_{-2}b_{-3}...\} $$

则Y的值为：

$$ Y = \sum_i(b_i × 2^i) $$

二进制和十进制的转换

将二进制数转换为十进制数很是容易，上述的笔记中已经有不少例子。

而要将十进制数字转换为二进制数字，整数部分和小数部分则须要分开处理。

整数部分

如上述笔记所叙，在二进制中，整数部分可表示为：

$$ b_{m-1}b_{m-2}...b_2b_1b_0\quad(b_i=0或1) $$

该数字的值为：

$$ (b_{m-1} × 2^{m-1}) + (b_{m-2} × 2^{m-2}) + ... + (b_1 × 2^1) + b_0 $$

假设咱们须要将十进制的整数N转换为二进制，能够将N除以2，将获得一个商N₁和余数R₀，记为：

$$ N = 2 × N_1 + R_0\quad(R_0=0或1) $$

接着，咱们将商N₁继续除以2。令其新的商记为N₂，新的余数记为R₁，则：

$$ N_1 = 2 × N_2 + R_1\quad(R_1=0或1) $$

那么有：

$$ N = 2(2N_2 + R_1) + R_0 = (N_2 × 2^2) + (R_1 × 2^1) + R_0 $$

咱们能够将获得的商继续往下除以2，因为N > N₁ > N₂...，最终会获得商：N_m-1 = 1（0₁₀和1₁₀除外）以及余数R_m-2 = 0或1，那么咱们能够获得：

$$ N = (1 × 2^{m-1}) + (R_{m-2} × 2^{m-2}) + ... + (R_2 × 2^2) + (R_1 × 2^1) + R_0 $$

即N的二进制形式。
所以，将十进制数的整数部分转换为二进制数，只需将数字不断除以2便可，将获得的余数（非0即1）逆序排列，就获得了二进制的整数部分。

例1：将11₁₀转换为二进制。
解：

例2：将21₁₀转换为二进制。
解：

小数部分

如上述笔记所叙，在二进制中，整数部分可表示为：

$$ b_{-1}b_{-2}b_{-3}...\quad(b_i=0或1) $$

该数字的值为：

$$ (b_{-1} × 2^{-1}) + (b_{-2} × 2^{-2}) + (b_{-3} × 2^{-3})... $$

也能够记为：

$$ 2_{-1} × (b_{-1} × 2^{-1} × (b_{-2} × 2^{-1} × (b_{-3} + ...)...)) $$

上一个表达式正好提供了一个转换的思路。假设咱们要将数字F(0＜F＜1)由十进制转换为二进制。由上可知，数字F能够表示为：

$$ F = 2^{-1} × (b_{-1} + 2^{-1} × (b_{-2} + 2^{-1} × (b_{-3} + ...)...)) $$

等式两边同乘以2得：

$$ 2F = b_{-1} + 2^{-1} × (b_{-2} + 2^{-1} × (b_{-3} + ...)...) $$

因为0＜F＜1，显然的，2F的整数部分b_-1∈{0, 1}。咱们将剩余的小数部分记为F₁，且0＜F₁＜1，可得：

$$ F_1 = 2^{-1} × (b_{-2} + 2^{-1} × (b_{-3} + ...)...) $$

为了求b_-1，咱们可重复上述步骤。以此类推，小数部分的转换算法即将小数不断乘以2便可。算法中每一步的被乘数都是上一步的积的小数部分，且积的整数部分必定是0或1，其构成之正序序列即二进制的小数部分。然而，这个算法是不精确的，由于该算法的精确中止条件是直到积的小数部分等于0为止，而有时该算法可能会一直循环下去。所以，咱们须要另外一个中止条件：将算法运行到咱们所须要的必定精度便可。

例1：将0.81₁₀转换为二进制。
解：

例2：将0.25₁₀转换为二进制。
解：