【坐在马桶上看算法】算法8：巧妙的邻接表（数组实现）

        以前咱们介绍过图的邻接矩阵存储法，它的空间和时间复杂度都是N2，如今我来介绍另一种存储图的方法：邻接表，这样空间和时间复杂度就都是M。对于稀疏图来讲，M要远远小于N2。先上数据，以下。

 

4 5
1 4 9
4 3 8
1 2 5
2 4 6
1 3 7

 

        第一行两个整数n m。n表示顶点个数（顶点编号为1~n），m表示边的条数。接下来m行表示，每行有3个数x y z，表示顶点x到顶点y的边的权值为z。下图就是一种使用链表来实现邻接表的方法。

 

        上面这种实现方法为图中的每个顶点（左边部分）都创建了一个单链表（右边部分）。这样咱们就能够经过遍历每一个顶点的链表，从而获得该顶点全部的边了。使用链表来实现邻接表对于痛恨指针的的朋友来讲，这简直就是噩梦。这里我将为你们介绍另一种使用数组来实现的邻接表，这是一种在实际应用中很是容易实现的方法。这种方法为每一个顶点i（i从1~n）也都保存了一个相似“链表”的东西，里面保存的是从顶点i出发的全部的边，具体以下。

        首先咱们按照读入的顺序为每一条边进行编号（1~m）。好比第一条边“1 4 9”的编号就是1，“1 3 7”这条边的编号是5。

        这里用u、v和w三个数组用来记录每条边的具体信息，即u[i]、v[i]和w[i]表示第i条边是从第u[i]号顶点到v[i]号顶点（u[i]àv[i]），且权值为w[i]。

        再用一个first数组来存储每一个顶点其中一条边的编号。以便待会咱们来枚举每个顶点全部的边（你可能会问：存储其中一条边的编号就能够了？不可能吧，每一个顶点都须要存储其全部边的编号才行吧！甭着急，继续往下看）。好比1号顶点有一条边是 “1 4 9”（该条边的编号是1），那么就将first[1]的值设为1。若是某个顶点i没有以该顶点为起始点的边，则将first[i]的值设为-1。如今咱们来看看具体如何操做，初始状态以下。

 

        咦？上图中怎么多了一个next数组，有什么做用呢？不着急，待会再解释，如今先读入第一条边“1 4 9”。

        读入第1条边（1 4 9），将这条边的信息存储到u[1]、v[1]和w[1]中。同时为这条边赋予一个编号，由于这条边是最早读入的，存储在u、v和w数组下标为1的单元格中，所以编号就是1。这条边的起始点是1号顶点，所以将first[1]的值设为1。

        另外这条“编号为1的边”是以1号顶点（即u[1]）为起始点的第一条边，因此要将next[1]的值设为-1。也就是说，若是当前这条“编号为i的边”，是咱们发现的以u[i]为起始点的第一条边，就将next[i]的值设为-1（貌似的这个next数组很神秘啊⊙_⊙）。

 

        读入第2条边（4 3 8），将这条边的信息存储到u[2]、v[2]和w[2]中，这条边的编号为2。这条边的起始顶点是4号顶点，所以将first[4]的值设为2。另外这条“编号为2的边”是咱们发现以4号顶点为起始点的第一条边，因此将next[2]的值设为-1。

 

        读入第3条边（1 2 5），将这条边的信息存储到u[3]、v[3]和w[3]中，这条边的编号为3，起始顶点是1号顶点。咱们发现1号顶点已经有一条“编号为1 的边”了，若是此时将first[1]的值设为3，那“编号为1的边”岂不是就丢失了？我有办法，此时只需将next[3]的值设为1便可。如今你知道next数组是用来作什么的吧。next[i]存储的是“编号为i的边”的“前一条边”的编号。

 

        读入第4条边（2 4 6），将这条边的信息存储到u[4]、v[4]和w[4]中，这条边的编号为4，起始顶点是2号顶点，所以将first[2]的值设为4。另外这条“编号为4的边”是咱们发现以2号顶点为起始点的第一条边，因此将next[4]的值设为-1。

 

        读入第5条边（1 3 7），将这条边的信息存储到u[5]、v[5]和w[5]中，这条边的编号为5，起始顶点又是1号顶点。此时须要将first[1]的值设为5，并将next[5]的值改成3。

 

        此时，若是咱们想遍历1号顶点的每一条边就很简单了。1号顶点的其中一条边的编号存储在first[1]中。其他的边则能够经过next数组寻找到。请看下图。

        细心的同窗会发现，此时遍历边某个顶点边的时候的遍历顺序正好与读入时候的顺序相反。由于在为每一个顶点插入边的时候都直接插入“链表”的首部而不是尾部。不过这并不会产生任何问题，这正是这种方法的其妙之处。

 

        建立邻接表的代码以下。

 

int n,m,i;
//u、v和w的数组大小要根据实际状况来设置，要比m的最大值要大1
int u[6],v[6],w[6];
//first和next的数组大小要根据实际状况来设置，要比n的最大值要大1
int first[5],next[5];
scanf("%d %d",&n,&m);
//初始化first数组下标1~n的值为-1，表示1~n顶点暂时都没有边
for(i=1;i<=n;i++)
    first[i]=-1;
for(i=1;i<=m;i++)
{
    scanf("%d %d %d",&u[i],&v[i],&w[i]);//读入每一条边
    //下面两句是关键啦
    next[i]=first[u[i]];
    first[u[i]]=i;
}

 

        接下来如何遍历每一条边呢？咱们以前说过其实first数组存储的就是每一个顶点i（i从1~n）的第一条边。好比1号顶点的第一条边是编号为5的边（1 3 7），2号顶点的第一条边是编号为4的边（2 4 6），3号顶点没有出向边，4号顶点的第一条边是编号为2的边（2 4 6）。那么如何遍历1号顶点的每一条边呢？也很简单。请看下图：

 

        遍历1号顶点全部边的代码以下。

 

k=first[1];// 1号顶点其中的一条边的编号（其实也是最后读入的边）
while(k!=-1) //其他的边均可以在next数组中依次找到
{
    printf("%d %d %d\n",u[k],v[k],w[k]);
    k=next[k];
}

 

        遍历每一个顶点的全部边的代码以下。

for(i=1;i<=n;i++)
{
    k=first[i];
    while(k!=-1)
    {
        printf("%d %d %d\n",u[k],v[k],w[k]);
        k=next[k];
    }
}

 

        能够发现使用邻接表来存储图的时间空间复杂度是O(M)，遍历每一条边的时间复杂度是也是O(M)。若是一个图是稀疏图的话，M要远小于N2。所以稀疏图选用邻接表来存储要比邻接矩阵来存储要好不少。

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