【坐在马桶上看算法】算法11：堆——神奇的优先队列（上）

       

        堆是什么？是一种特殊的彻底二叉树，就像下面这棵树同样。

        有没有发现这棵二叉树有一个特色，就是全部父结点都比子结点要小（注意：圆圈里面的数是值，圆圈上面的数是这个结点的编号，此规定仅适用于本节）。符合这样特色的彻底二叉树咱们称为最小堆。反之，若是全部父结点都比子结点要大，这样的彻底二叉树称为最大堆。那这一特性究竟有什么用呢？

        假若有14个数分别是99、5、36、7、22、17、46、12、2、19、25、28、1和92。请找出这14个数中最小的数，请问怎么办呢？最简单的方法就是将这14个数从头至尾依次扫一遍，用一个循环就能够解决。这种方法的时间复杂度是O(14)也就是O(N)。

 

for(i=1;i<=14;i++) { if(a[ i]<min)    min=a[ i]; }

 

        如今咱们须要删除其中最小的数，并增长一个新数23，再次求这14个数中最小的一个数。请问该怎么办呢？只能从新扫描全部的数，才能找到新的最小的数，这个时间复杂度也是O(N)。假如如今有14次这样的操做（删除最小的数后并添加一个新数）。那么整个时间复杂度就是O(14²)即O(N²)。那有没有更好的方法呢？堆这个特殊的结构刚好可以很好地解决这个问题。

        首先咱们先把这个14个数按照最小堆的要求（就是全部父结点都比子结点要小）放入一棵彻底二叉树，就像下面这棵树同样。

        很显然最小的数就在堆顶，假设存储这个堆的数组叫作h的话，最小数就是h[ 1]。接下来，咱们将堆顶的数删除，并将新增长的数23放到堆顶。显然加了新数后已经不符合最小堆的特性，咱们须要将新增长的数调整到合适的位置。那如何调整呢？

        向下调整！咱们须要将这个数与它的两个儿子2和5比较，并选择较小一个与它交换，交换以后以下。

        咱们发现此时仍是不符合最小堆的特性，所以还须要继续向下调整。因而继续将23与它的两个儿子12和7比较，并选择较小一个交换，交换以后以下。

        到此，仍是不符合最小堆的特性，仍须要继续向下调整直到符合最小堆的特性为止。

        咱们发现如今已经符合最小堆的特性了。综上所述，当新增长一个数被放置到堆顶时，若是此时不符合最小堆的特性，则将须要将这个数向下调整，直到找到合适的位置为止，使其从新符合最小堆的特性。

 

 

        向下调整的代码以下。

void siftdown(int i) //传入一个须要向下调整的结点编号i，这里传入1，即从堆的顶点开始向下调整 
{ int t,flag=0;//flag用来标记是否须要继续向下调整 //当i结点有儿子的时候（实际上是至少有左儿子的状况下）而且有须要继续调整的时候循环窒执行
    while( i*2<=n && flag==0 ) { //首先判断他和他左儿子的关系，并用t记录值较小的结点编号
        if( h[ i] > h[ i*2] ) t=i*2; else t=i; //若是他有右儿子的状况下，再对右儿子进行讨论
        if(i*2+1 <= n) { //若是右儿子的值更小，更新较小的结点编号 
            if(h[ t] > h[ i*2+1]) t=i*2+1; } //若是发现最小的结点编号不是本身，说明子结点中有比父结点更小的 
        if(t!=i) { swap(t,i);//交换它们，注意swap函数须要本身来写
            i=t;//更新i为刚才与它交换的儿子结点的编号，便于接下来继续向下调整
 } else flag=1;//则否说明当前的父结点已经比两个子结点都要小了，不须要在进行调整了
 } }

 

        咱们刚才在对23进行调整的时候，居然只进行了3次比较，就从新恢复了最小堆的特性。如今最小的数依然在堆顶为2。以前那种从头至尾扫描的方法须要14次比较，如今只须要3次就够了。如今每次删除最小的数并新增一个数，并求当前最小数的时间复杂度是O(3)，这刚好是O(log₂14)即O(log₂N)简写为O(logN)。假如如今有1亿个数（即N=1亿），进行1亿次删除最小数并新增一个数的操做，使用原来扫描的方法计算机须要运行大约1亿的平方次，而如今只须要1亿*log1亿次，即27亿次。假设计算机每秒钟能够运行10亿次，那原来则须要一千万秒大约115天！而如今只要2.7秒。是否是很神奇，再次感觉到算法的伟大了吧。

        说到这里，若是只是想新增一个值，而不是删除最小值又该如何操做呢？即如何在原有的堆上直接插入一个新元素呢？只须要直接将新元素插入到末尾，再根据状况判断新元素是否须要上移，直到知足堆的特性为止。若是堆的大小为N（即有N个元素），那么插入一个新元素所须要的时间也是O(logN)。例如咱们如今要新增一个数3。

 

 

        先将3与它的父结点25比较，发现比父结点小，为了维护最小堆的特性，须要与父结点的值进行交换。交换以后发现仍是要比它此时的父结点5小，所以须要再次与父结点交换。至此又从新知足了最小堆的特性。向上调整完毕后以下。

        向上调整的代码以下。

 

void siftup(int i) //传入一个须要向上调整的结点编号i
{ int flag=0; //用来标记是否须要继续向上调整
    if(i==1)  return; //若是是堆顶，就返回，不须要调整了 //不在堆顶 而且 当前结点i的值比父结点小的时候继续向上调整
    while(i!=1 && flag==0) { //判断是否比父结点的小
        if(h[ i]<h[ i/2]) swap(i,i/2);//交换他和他爸爸的位置
        else flag=1;//表示已经不须要调整了，当前结点的值比父结点的值要大
        i=i/2; //这句话很重要，更新编号i为它父结点的编号，从而便于下一次继续向上调整 
 } }

        说了半天，咱们忽略一个很重要的问题！就是如何创建这个堆。咱们周一接着说。

 

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