『科学计算_理论』矩阵求导

时间  2019-12-08
标签 科学计算_理论 矩阵 栏目 应用数学 繁體版
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标量对矩阵求导

矩阵求导的技术，在统计学、控制论、机器学习等领域有普遍的应用。鉴于我看过的一些资料或言之不详、或繁乱无绪，本文来作个科普，分做两篇，上篇讲标量对矩阵的求导术，下篇讲矩阵对矩阵的求导术。本文使用小写字母x表示标量，粗体小写字母\boldsymbol{x} 表示向量，大写字母X表示矩阵。机器学习

首先来琢磨一下定义，标量f对矩阵X的导数，定义为\frac{\partial f}{\partial X} := \left[\frac{\partial f }{\partial X_{ij}}\right]，即f对X逐元素求导排成与X尺寸相同的矩阵。然而，这个定义在计算中并很差用，实用上的缘由是在对较复杂的函数难以逐元素求导；哲理上的缘由是逐元素求导破坏了总体性。试想，为什么要将f看作矩阵X而不是各元素X_{ij}的函数呢？答案是用矩阵运算更整洁。因此在求导时不宜拆开矩阵，而是要找一个从总体出发的算法。为此，咱们来回顾，一元微积分中的导数（标量对标量的导数）与微分有联系：df = f'(x)dx；多元微积分中的梯度（标量对向量的导数）也与微分有联系：df = \sum_{i} \frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i = \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{x}}^T d\boldsymbol{x} ，这里第一个等号是全微分公式，第二个等号表达了梯度\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{x}}与微分的联系；受此启发，咱们将矩阵导数与微分创建联系：df = \sum_{i,j} \frac{\partial f}{\partial X_{ij}}dX_{ij} = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial X}^T dX\right) ，这里tr表明迹(trace)是方阵对角线元素之和，知足性质：对尺寸相同的矩阵A,B，\text{tr}(A^TB) = \sum_{i,j}A_{ij}B_{ij}，这用泛函分析的语言来讲\text{tr}(A^TB)是矩阵A,B的内积，所以上式与原定义相容。

函数

 

而后来创建运算法则。回想遇到较复杂的一元函数如f = \log(2+\sin x)e^{\sqrt{x}}，咱们是如何求导的呢？一般不是从定义开始求极限，而是先创建了初等函数求导和四则运算、复合等法则，再来运用这些法则。故而，咱们来创立经常使用的矩阵微分的运算法则：学习

  1. 加减法：d(X\pm Y) = dX \pm dY；矩阵乘法：d(XY) = dX Y + X dY ；转置：d(X^T) = (dX)^T；迹：d\text{tr}(X) = \text{tr}(dX)。
  2. 逆：dX^{-1} = -X^{-1}dX X^{-1}。此式可在XX^{-1}=I两侧求微分来证实。
  3. 行列式：d|X| = \text{tr}(X^{\#}dX) ，其中X^{\#}表示X的伴随矩阵，在X可逆时又能够写做d|X|= |X|\text{tr}(X^{-1}dX)。此式可用Laplace展开来证实，详见张贤达《矩阵分析与应用》第279页。
  4. 逐元素乘法：d(X\odot Y) = dX\odot Y + X\odot dY，\odot表示尺寸相同的矩阵X,Y逐元素相乘。
  5. 逐元素函数：d\sigma(X) = \sigma'(X)\odot dX ，\sigma(X) = \left[\sigma(X_{ij})\right]是逐元素运算的标量函数。



咱们试图利用矩阵导数与微分的联系df = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial X}^T dX\right) ，在求出左侧的微分df后，该如何写成右侧的形式并获得导数呢？这须要一些迹技巧(trace trick)：优化

  1. 标量套上迹：a = \text{tr}(a)。
  2. 转置：\mathrm{tr}(A^T) = \mathrm{tr}(A)。
  3. 线性：\text{tr}(A\pm B) = \text{tr}(A)\pm \text{tr}(B)。
  4. 矩阵乘法交换：\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)。两侧都等于\sum_{i,j}A_{ij}B_{ji}。
  5. 矩阵乘法/逐元素乘法交换：\text{tr}(A^T(B\odot C)) = \text{tr}((A\odot B)^TC)。两侧都等于\sum_{i,j}A_{ij}B_{ij}C_{ij}。

 

观察一下能够断言，若标量函数f是矩阵X经加减乘法、行列式、逆、逐元素函数等运算构成，则使用相应的运算法则对f求微分，再使用迹技巧给df套上迹并将其它项交换至dX左侧，即能获得导数。get


在创建法则的最后，来谈一谈复合：假设已求得\frac{\partial f}{\partial Y}，而Y是X的函数，如何求\frac{\partial f}{\partial X}呢？在微积分中有标量求导的链式法则\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial x}，但这里咱们不能沿用链式法则，由于矩阵对矩阵的导数\frac{\partial Y}{\partial X}截至目前还是未定义的。因而咱们继续追本溯源，链式法则是从何而来？源头仍然是微分。咱们直接从微分入手创建复合法则：先写出df = \text{tr}\left(\frac{\partial f}{\partial Y}^T dY\right)，再将dY用dX表示出来代入，并使用迹技巧将其余项交换至dX左侧，便可获得\frac{\partial f}{\partial X}。

数学

接下来演示一些算例。特别提醒要依据已经创建的运算法则来计算，不能随意套用微积分中标量导数的结论，好比认为AX对X的导数为A，这是没有根据、意义不明的。io

例1：f = \boldsymbol{a}^T X\boldsymbol{b}，求\frac{\partial f}{\partial X}。变量

解：先使用矩阵乘法法则求微分：df = \boldsymbol{a}^T dX\boldsymbol{b} ，再套上迹并作交换：df = \text{tr}(\boldsymbol{a}^TdX\boldsymbol{b}) = \text{tr}(\boldsymbol{b}\boldsymbol{a}^TdX)，对照导数与微分的联系，获得\frac{\partial f}{\partial X} = \boldsymbol{a}\boldsymbol{b}^T。

注意：这里不能用\frac{\partial f}{\partial X} =\boldsymbol{a}^T \frac{\partial X}{\partial X}\boldsymbol{b}=?，导数与乘常数矩阵的交换是不合法则的运算（而微分是合法的）。有些资料在计算矩阵导数时，会略过求微分这一步，这是逻辑上解释不通的。

例2【线性回归】：l = \|X\boldsymbol{w}- \boldsymbol{y}\|^2，求\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{w}}。

解：严格来讲这是标量对向量的导数，不过能够把向量看作矩阵的特例。将向量范数写成l = (X\boldsymbol{w}- \boldsymbol{y})^T(X\boldsymbol{w}- \boldsymbol{y})，求微分，使用矩阵乘法、转置等法则：dl = (Xd\boldsymbol{w})^T(X\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})+(X\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})^T(Xd\boldsymbol{w}) = 2(X\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})^TXd\boldsymbol{w}。对照导数与微分的联系，获得\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{w}}= 2X^T(X\boldsymbol{w}-\boldsymbol{y})。

例3【多元logistic回归】：l = -\boldsymbol{y}^T\log\text{softmax}(W\boldsymbol{x})，求\frac{\partial l}{\partial W}。其中\boldsymbol{y}是除一个元素为1外其它元素为0的向量；\text{softmax}(\boldsymbol{a}) = \frac{\exp(\boldsymbol{a})}{\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a})}，其中\exp(\boldsymbol{a})表示逐元素求指数，\boldsymbol{1}表明全1向量。

解：首先将softmax函数代入并写成l = -\boldsymbol{y}^T \left(\log (\exp(W\boldsymbol{x}))-\boldsymbol{1}\log(\boldsymbol{1}^T\exp(W\boldsymbol{x}))\right) = -\boldsymbol{y}^TW\boldsymbol{x} + \log(\boldsymbol{1}^T\exp(W\boldsymbol{x}))，这里要注意向量除标量求逐元素log知足\log(\boldsymbol{b}/c) = \log(\boldsymbol{b}) - \boldsymbol{1}\log(c)，以及\boldsymbol{y}知足\boldsymbol{y}^T \boldsymbol{1} = 1。求微分，使用矩阵乘法、逐元素函数等法则：dl =- \boldsymbol{y}^TdW\boldsymbol{x}+\frac{\boldsymbol{1}^T\left(\exp(W\boldsymbol{x})\odot(dW\boldsymbol{x})\right)}{\boldsymbol{1}^T\exp(W\boldsymbol{x})}。再套上迹并作交换，其中第二项的分子是\text{tr}\left(\boldsymbol{1}^T\left(\exp(W\boldsymbol{x})\odot(dW\boldsymbol{x})\right)\right) = \text{tr}\left((\boldsymbol{1}\odot\exp(W\boldsymbol{x}))^TdW\boldsymbol{x}\right) = \text{tr}(\exp(W\boldsymbol{x})^TdW\boldsymbol{x})，故dl = \text{tr}\left(-\boldsymbol{y}^TdW\boldsymbol{x}+\frac{\exp(W\boldsymbol{x})^TdW\boldsymbol{x}}{\boldsymbol{1}^T\exp(W\boldsymbol{x})}\right) =\text{tr}(\boldsymbol{x}(\text{softmax}(W\boldsymbol{x})-\boldsymbol{y})^TdW)。对照导数与微分的联系，获得\frac{\partial l}{\partial W}= (\text{softmax}(W\boldsymbol{x})-\boldsymbol{y})\boldsymbol{x}^T。

另解：定义\boldsymbol{a} = W\boldsymbol{x}，则l = -\boldsymbol{y}^T\log\text{softmax}(\boldsymbol{a}) ，先如上求出\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}} = \text{softmax}(\boldsymbol{a})-\boldsymbol{y} ，再利用复合法则：dl = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}}^Td\boldsymbol{a}\right) = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}}^TdW \boldsymbol{x}\right) = \text{tr}\left(\boldsymbol{x}\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}}^TdW\right)，获得\frac{\partial l}{\partial W}= \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}}\boldsymbol{x}^T。

 

例4【方差的最大似然估计】：样本\boldsymbol{x}_1,\dots, \boldsymbol{x}_n\sim N(\boldsymbol{\mu}, \Sigma)，其中\Sigma是对称正定矩阵，求方差\Sigma的最大似然估计。写成数学式是：l = \log|\Sigma|+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})，求\frac{\partial l }{\partial \Sigma}的零点。

 

解：首先求微分，使用矩阵乘法、行列式、逆等运算法则，第一项是d\log|\Sigma| = |\Sigma|^{-1}d|\Sigma| = \text{tr}(\Sigma^{-1}d\Sigma)，第二项是\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^Td\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}}) = -\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T\Sigma^{-1}d\Sigma\Sigma^{-1}(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})。再给第二项套上迹作交换：dl = \text{tr}\left(\left(\Sigma^{-1}-\Sigma^{-1}S_n\Sigma^{-1}\right)d\Sigma\right)，其中S_n := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})(\boldsymbol{x}_i-\boldsymbol{\bar{x}})^T定义为样本方差。对照导数与微分的联系，有\frac{\partial l }{\partial \Sigma}=(\Sigma^{-1}-\Sigma^{-1}S_n\Sigma^{-1})^T，其零点即\Sigma的最大似然估计为\Sigma = S_n。

最后一例留给经典的神经网络。神经网络的求导术是学术史上的重要成果，还有个专门的名字叫作BP算法，我相信现在不少人在初次推导BP算法时也会颇费一番脑筋，事实上使用矩阵求导术来推导并不复杂。为简化起见，咱们推导二层神经网络的BP算法。

例5【二层神经网络】：l = -\boldsymbol{y}^T\log\text{softmax}(W_2\sigma(W_1\boldsymbol{x}))，求\frac{\partial l}{\partial W_1}和\frac{\partial l}{\partial W_2}。其中\boldsymbol{y}是除一个元素为1外其它元素为0的向量，\text{softmax}(\boldsymbol{a}) = \frac{\exp(\boldsymbol{a})}{\boldsymbol{1}^T\exp(\boldsymbol{a})}同例3，\sigma(\cdot)是逐元素sigmoid函数\sigma(a) = \frac{1}{1+\exp(-a)}。

解：定义\boldsymbol{a}_1=W_1\boldsymbol{x}，\boldsymbol{h}_1 = \sigma(\boldsymbol{a}_1)，\boldsymbol{a}_2 = W_2 \boldsymbol{h}_1，则l =-\boldsymbol{y}^T\log\text{softmax}(\boldsymbol{a}_2)。在例3中已求出\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_2} = \text{softmax}(\boldsymbol{a}_2)-\boldsymbol{y} 。使用复合法则，注意此处\boldsymbol{h}_1, W_2都是变量：dl = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_2}^Td\boldsymbol{a}_2\right) = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_2}^TdW_2 \boldsymbol{h}_1\right) + \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_2}^TW_2 d\boldsymbol{h}_1\right)，使用矩阵乘法交换的迹技巧从第一项获得\frac{\partial l}{\partial W_2}= \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_2}\boldsymbol{h}_1^T，从第二项获得\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{h}_1}= W_2^T\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_2}。接下来求\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_1}，继续使用复合法则，并利用矩阵乘法和逐元素乘法交换的迹技巧：\text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{h}_1}^Td\boldsymbol{h}_1\right) = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{h}_1}^T(\sigma'(\boldsymbol{a}_1)\odot d\boldsymbol{a}_1)\right) = \text{tr}\left(\left(\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{h}_1}\odot \sigma'(\boldsymbol{a}_1)\right)^Td\boldsymbol{a}_1\right)，获得\frac{\partial l}{\partial \boldsymbol{a}_1}= \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{h}_1}\odot\sigma'(\boldsymbol{a}_1)。为求\frac{\partial l}{\partial W_1}，再用一次复合法则：\text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_1}^Td\boldsymbol{a}_1\right) = \text{tr}\left(\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_1}^TdW_1\boldsymbol{x}\right) = \text{tr}\left(\boldsymbol{x}\frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_1}^TdW_1\right)，获得\frac{\partial l}{\partial W_1}= \frac{\partial l}{\partial\boldsymbol{a}_1}\boldsymbol{x}^T。

 

矩阵对矩阵求导

使用小写字母x表示标量，粗体小写字母\boldsymbol{x} 表示列向量，大写字母X表示矩阵。矩阵对矩阵的求导采用了向量化的思路，常应用于二阶方法求解优化问题。

首先来琢磨一下定义。矩阵对矩阵的导数，须要什么样的定义？第一，矩阵F(p×q)对矩阵X(m×n)的导数应包含全部mnpq个偏导数\frac{\partial F_{kl}}{\partial X_{ij}}，从而不损失信息；第二，导数与微分有简明的联系，由于在计算导数和应用中须要这个联系；第三，导数有简明的从总体出发的算法。咱们先定义向量\boldsymbol{f}(p×1)对向量\boldsymbol{x}(m×1)的导数\frac{\partial \boldsymbol{f}}{\partial \boldsymbol{x}} := \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_p}{\partial x_1}\\ \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial f_p}{\partial x_2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac{\partial f_1}{\partial x_m} & \frac{\partial f_2}{\partial x_m} & \cdots & \frac{\partial f_p}{\partial x_m}\\ \end{bmatrix}(m×p)，有d\boldsymbol{f} = \frac{\partial \boldsymbol{f} }{\partial \boldsymbol{x} }^T d\boldsymbol{x} ；再定义矩阵的（按列优先）向量化\mathrm{vec}(X) := [X_{11}, \ldots, X_{m1}, X_{12}, \ldots, X_{m2}, \ldots, X_{1n}, \ldots, X_{mn}]^T(mn×1)，并定义矩阵F对矩阵X的导数\frac{\partial F}{\partial X} := \frac{\partial \mathrm{vec}(F)}{\partial \mathrm{vec}(X)}(mn×pq)。导数与微分有联系\mathrm{vec}(dF) = \frac{\partial F}{\partial X}^T \mathrm{vec}(dX)。几点说明以下：

  1. 按此定义，标量f对矩阵X(m×n)的导数\frac{\partial f}{\partial X}是mn×1向量，与上篇的定义不兼容，不过两者容易相互转换。为避免混淆，用记号\nabla_X f表示上篇定义的m×n矩阵，则有\frac{\partial f}{\partial X}=\mathrm{vec}(\nabla_X f)。虽然本篇的技术能够用于标量对矩阵求导这种特殊状况，但使用上篇中的技术更方便。读者能够经过上篇中的算例试验两种方法的等价转换。
  2. 标量对矩阵的二阶导数，又称Hessian矩阵，定义为\nabla^2_X f := \frac{\partial^2 f}{\partial X^2} = \frac{\partial \nabla_X f}{\partial X}(mn×mn)，是对称矩阵。对\frac{\partial f}{\partial X}或\nabla_X f求导均可以获得Hessian矩阵，但从矩阵\nabla_X f出发更方便。
  3. \frac{\partial F}{\partial X} = \frac{\partial\mathrm{vec} (F)}{\partial X} = \frac{\partial F}{\partial \mathrm{vec}(X)} = \frac{\partial\mathrm{vec}(F)}{\partial \mathrm{vec}(X)}，求导时矩阵被向量化，弊端是这在必定程度破坏了矩阵的结构，会致使结果变得形式复杂；好处是多元微积分中关于梯度、Hessian矩阵的结论能够沿用过来，只需将矩阵向量化。例如优化问题中，牛顿法的更新\Delta X，知足\mathrm{vec}(\Delta X) = -(\nabla^2_X f)^{-1}\mathrm{vec}(\nabla_X f)。
  4. 在资料中，矩阵对矩阵的导数还有其它定义，好比\frac{\partial F}{\partial X} := \left[\frac{\partial F_{kl}}{\partial X}\right](mp×nq)，它能兼容上篇中的标量对矩阵导数的定义，但微分与导数的联系（dF等于\frac{\partial F}{\partial X}中每一个m×n子块分别与dX作内积）不够简明，不便于计算和应用。



而后来创建运算法则。仍然要利用导数与微分的联系\mathrm{vec}(dF) = \frac{\partial F}{\partial X}^T \mathrm{vec}(dX)，求微分的方法与上篇相同，而从微分获得导数须要一些向量化的技巧：

  1. 线性：\mathrm{vec}(A+B) = \mathrm{vec}(A) + \mathrm{vec}(B)。
  2. 矩阵乘法：\mathrm{vec}(AXB) = (B^T \otimes A) \mathrm{vec}(X)，其中\otimes表示Kronecker积，A(m×n)与B(p×q)的Kronecker积是A\otimes B := [A_{ij}B](mp×nq)。此式证实见张贤达《矩阵分析与应用》第107-108页。
  3. 转置：\mathrm{vec}(A^T) = K_{mn}\mathrm{vec}(A)，A是m×n矩阵，其中K_{mn}(mn×mn)是交换矩阵(commutation matrix)。
  4. 逐元素乘法：\mathrm{vec}(A\odot X) = \mathrm{diag}(A)\mathrm{vec}(X)，其中\mathrm{diag}(A)(mn×mn)是用A的元素（按列优先）排成的对角阵。

观察一下能够断言，若矩阵函数F是矩阵X经加减乘法、行列式、逆、逐元素函数等运算构成，则使用相应的运算法则对F求微分，再作向量化并使用技巧将其它项交换至vec(dX)左侧，即能获得导数。

再谈一谈复合：假设已求得\frac{\partial F}{\partial Y}，而Y是X的函数，如何求\frac{\partial F}{\partial X}呢？从导数与微分的联系入手，\mathrm{vec}(dF) = \frac{\partial F}{\partial Y}^T\mathrm{vec}(dY) = \frac{\partial F}{\partial Y}^T\frac{\partial Y}{\partial X}^T\mathrm{vec}(dX) ，能够推出链式法则\frac{\partial F}{\partial X} = \frac{\partial Y}{\partial X}\frac{\partial F}{\partial Y}。

 

和标量对矩阵的导数相比，矩阵对矩阵的导数形式更加复杂，从不一样角度出发常会获得形式不一样的结果。有一些Kronecker积和交换矩阵相关的恒等式，可用来作等价变形：

 

  1. (A\otimes B)^T = A^T \otimes B^T。
  2. \mathrm{vec}(\boldsymbol{ab}^T) = \boldsymbol{b}\otimes\boldsymbol{a}。
  3. (A\otimes B)(C\otimes D) = (AC)\otimes (BD)。能够对F = D^TB^TXAC求导来证实，一方面，直接求导获得\frac{\partial F}{\partial X} = (AC) \otimes (BD)；另外一方面，引入Y = B^T X A，有\frac{\partial F}{\partial Y} = C \otimes D, \frac{\partial Y}{\partial X} = A \otimes B，用链式法则获得\frac{\partial F}{\partial X} = (A\otimes B)(C \otimes D)。
  4. K_{mn} = K_{nm}^T, K_{mn}K_{nm} = I。
  5. K_{pm}A\otimes B K_{nq} = B\otimes A，A是m×n矩阵，B是p×q矩阵。能够对AXB^T作向量化来证实，一方面，\mathrm{vec}(AXB^T) = (B\otimes A)\mathrm{vec}(X)；另外一方面，\mathrm{vec}(AXB^T) = K_{pm}\mathrm{vec}(BX^TA^T) = (K_{pm}A\otimes B)\mathrm{vec}(X^T) = (K_{pm}A\otimes B K_{nq})\mathrm{vec}(X)。



接下来演示一些算例。

例1：F = AX，X是m×n矩阵，求\frac{\partial F}{\partial X}。

 

解：先求微分：dF=AdX，再作向量化，使用矩阵乘法的技巧，注意在dX右侧添加单位阵：\mathrm{vec}(dF) = \mathrm{vec}(AdX) = (I_n\otimes A)\mathrm{vec}(dX)，对照导数与微分的关系获得\frac{\partial F}{\partial X} = I_n\otimes A^T。

例2：f = \log |X| ，X是n×n矩阵，求\nabla_X f和\nabla^2_X f。

解：使用上篇中的技术可求得\nabla_X f = X^{-1T} 。为求\nabla^2_X f，先求微分：d\nabla_X f = -(X^{-1}dXX^{-1})^T，再作向量化，使用转置和矩阵乘法的技巧\mathrm{vec}(d\nabla_X f)= -K_{nn}\mathrm{vec}(X^{-1}dX X^{-1}) = -K_{nn}X^{-1T}\otimes X^{-1}\mathrm{vec}(dX)，对照导数与微分的关系获得\nabla^2_X f = -K_{nn}X^{-1T}\otimes X^{-1}。注意\nabla^2_X f是对称矩阵。在X是对称矩阵时，可简化为\nabla^2_X f = -X^{-1}\otimes X^{-1}。

 

例3：F = A\exp(XB)，A是l×m，X是m×n，B是n×p矩阵，exp()为逐元素函数，求\frac{\partial F}{\partial X}。

 

解：先求微分：dF = A(\exp(XB)\odot (dXB))，再作向量化，使用矩阵乘法的技巧：\mathrm{vec}(dF) = (I_p\otimes A)\mathrm{vec}(\exp(XB)\odot (dXB))，再用逐元素乘法的技巧：\mathrm{vec}(dF) = (I_p \otimes A) \mathrm{diag}(\exp(XB))\mathrm{vec}(dXB)，再用矩阵乘法的技巧：\mathrm{vec}(dF) = (I_p\otimes A)\mathrm{diag}(\exp(XB))(B^T\otimes I_m)\mathrm{vec}(dX)，对照导数与微分的关系获得\frac{\partial F}{\partial X} = (B\otimes I_m)\mathrm{diag}(\exp(XB))(I_p\otimes A^T)。



最后作个小结。咱们发展了从总体出发的矩阵求导的技术，导数与微分的联系是计算的枢纽，标量对矩阵的导数与微分的联系是df = \mathrm{tr}(\nabla_X^T f dX)，先对f求微分，再使用迹技巧可求得导数；矩阵对矩阵的导数与微分的联系是\mathrm{vec}(dF) = \frac{\partial F}{\partial X}^T \mathrm{vec}(dX)，先对F求微分，再使用向量化的技巧可求得导数。

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