数据结构与算法-kd二叉树(基础)

前面探讨的各类二叉树，使用一个键值在树中导航以执行必要的操做，二叉树中每一个节点都有惟一的一个key值，经过key咱们能够组织二叉查找树、平衡树、自适应树、堆等，从某种意义上讲，这是一维的二叉树。假如咱们如今要研究二维平面上n个点的性质，怎么将它们组织成二叉树呢？若是是3维空间或者k维空间呢？对于一个节点来讲，它不只仅只有一个key值，若是它处于k维空间，那么会有k个key值。咱们必须探讨出一种二叉树，能够组织k维空间上的节点。这就是kd二叉树，全称是k-dimension二叉树，k维二叉树。

本文以3维空间为例来探讨kd二叉树的建立、查找、添加、删除。

假设某3维空间上存在7个点，分别是(x1,y2,z3)、(x2,y3,z1)、(x3,y1,z2)、(x4,y4,z4)、(x5,y6,z7)、(x6,y7,z5)、(x7,y5,z6)。其中x(n)<x(n+1)，y(n)<y(n+1)，z(n)<z(n+1)

• 建立

若是使用一维二叉查找树来组织以上7个节点，咱们可使用x坐标做为键值(也可使用y或者z)，判断在哪里插入这个点，从而存储全部的点。为了可以独立地使用3个键值，咱们组建kd二叉树时能够交替使用x,y,z。在第一层，用x坐标做为识别符号，在第二层，使用y坐标，在第三层，使用z坐标，在第四层继续使用x，以此类推，循环使用3个key值。最终的kd二叉查找树多是下面这样的：

其中，蓝色的是x层，红色的是y层，黑色的是z层。对于x层中的节点P来说，左子树中任一节点的x的值都小于P节点的x值，右子树中任一节点的x的值都大于P节点的x值。y层和z层同理。

以上的kd二叉查找树是完美平衡的。相似一维二叉查找树，相同的数据流，能够构造出各类各样的二叉查找树。咱们但愿构造出来的二叉查找树尽量平衡，平衡意味着在查找数据时能够跳过更多的节点，更加有效率的查找。一维二叉查找树是怎么建立的呢？能够看数据结构与算法-二叉查找树(DSW)。类比其中的建立逻辑，能够探讨出kd二叉树的建立逻辑。

首先，咱们决定按照x->y->z的顺序建立kd树，根节点处于x层，那咱们将当前7个节点按照x的大小进行排序：

(x1,y2,z3)<(x2,y3,z1)<(x3,y1,z2)<(x4,y4,z4)<(x5,y6,z7)<(x6,y7,z5)<(x7,y5,z6)

取出中间节点(x4,y4,z4)做为根节点，这样作的好处是保证根节点的左右子树节点个数相差不大于1。

第二层是根据节点的y值排序，左子树节点排序以下：

(x3,y1,z2)<(x1,y2,z3)<(x2,y3,z1)

取出中间节点(x1,y2,z3)做为左子树的根节点。

以此类推，能够将右子树以及剩余的节点安插到kd树中，最终，kd树是高度平衡的。

伪代码以下：

def kd_tree(points, depth):
        if len(points) == 0:
                return None
        j = depth mod k
        将points数组中节点按照j维度大小排序
        获取数组中间节点下标medium_index
        node = Node(points[medium_index])
        node.left = kd_tree(points[:medium_index], depth + 1)
        node.right = kd_tree(points[medium + 1:], depth +1)
        return node            复制代码

伪代码中使用递归来简化逻辑，易于理解，实践中不建议使用。

• 查找

查找的逻辑比较简单、直观。若是查找(x7,y5,z6)，逐层进行比较便可，核心逻辑在于不一样层次比较的key值不一样。动态图以下：

• 添加

添加的的逻辑也是至关直观，就像查找同样，这里就很少说了。

• 删除

不管是一维的二叉查找树仍是kd二叉查找树，删除逻辑都是比较复杂的。一维二叉查找树删除看这里数据结构与算法-二叉查找树。类比一维二叉查找树的删除，从最直观的角度出发，咱们将kd树删除分红3种状况来考察。

一、删除叶子节点

毫无疑问，删除叶子节点直接释放叶子节点空间便可，由于叶子节点没有子树须要处理，因此直接删除。

二、删除度为1的节点

在一维二叉查找树中，删除度为1的节点也是比较简单的，直接将惟一的子树提高到被删除节点层次便可。可是在kd树中，这样处理是不行的。由于被删除节点以及子树处于不一样的层次，提高子树到被删除节点的层次是不可行的。假如如今有被删除节点P，子树根节点为Q，Q存在子节点R，其中，P层比较x值，Q层比较y值，若是节点Q是节点P的左节点，那么x(Q)<x(P)，节点R是节点Q的左节点，那么y(R)<y(Q)。假设删除P以后，提高Q节点到P原有的位置，须要保证x(R)<x(Q)，可是咱们只能保证y(R)<y(Q)，因此直接提高子树的层次是不可行的。

三、删除度为2的节点

类比一维二叉查找树中度为2节点的删除逻辑，无非是合并删除或者复制删除，其中合并删除明显是不可行的，缘由也是子树合并以后依然要提高子树到被删除节点的层次，这是不可行的。复制删除能够吗？假设被删除节点为P，左子树为Q，右子树为R。复制删除的核心逻辑是在Q中找到最大的节点替换P或者在R中找到最小的节点替换P。本质是，可以替换P的节点要大于Q中任意节点，小于R中任意节点。将其扩展到kd二叉查找树，什么样的节点能够替换被删除节点呢？

假设被删除节点为P，咱们将以P节点为根的子树截取出来，问题就转化为如何删除kd二叉查找树的根节点。当前的难点在于找到一个什么样的节点来替换根节点，这就须要观察根节点的特性了。还记得插入节点的逻辑吗？假设插入新节点Q，首先将Q节点的x维度的值和根节点x维度的值比较，大于则转向右子树，小于则转向左子树，在此过程当中，其余维度的值不起做用。也就是说，根节点的x维度的值大于左子树中任意节点的x维度的值，小于右子树中任意节点的x维度的值，其余维度的值大小没有要求。那么答案就显而易见了，可以替换根节点的只有两个，首先是左子树中x维度值最大的节点，其次是右子树中x维度值最小的节点。怎么找呢？没什么好的办法，由于这两个可替换节点的位置没有固定的规律，只能遍历全部节点来寻找。就算找到了，若是该节点也是度为2的节点，那么删除它的逻辑和上面是同样的，依然要遍历寻找可替换的节点，直到找到叶子节点，才能够直接删除。

删除度为1的节点和删除度为2的节点逻辑是同样的，找到可替换节点才行。

伪代码以下：

假设q节点是被删除节点右子树的根节点，下面是查找q子树中i维度值最小节点的逻辑
smallest(q, i) {
        min = q;
        if q->left != 0
                lt = smallest(q->left, i);
                if min->el.keys[i] >= lt->el.keys[i]
                        min = lt;
        if q->right != 0
                rt = smallest(q->right, i);
                if min->el.keys[i] >= rt->el.keys[i]
                        min = rt;
        return min;
}复制代码

伪代码的逻辑是使用递归，逐个比较每一个节点的x维度值的大小。显然，这种方式不够优秀，咱们还能够继续改进。改进点在于，若是咱们知道某节点R是比较x维度的值，那咱们就不用遍历R节点的右子树了，由于R节点的左子树任意节点的x维度的值小于R节点x维度的值，而R节点x维度的值是小于R节点右子树任意节点x维度值的。因此，若是咱们检测到当前比较节点比较的是x维度的值，直接选择它的左子树便可。

伪代码以下：

假设q节点是被删除节点右子树的根节点，下面是查找q子树中i维度值最小节点的逻辑
smallest(q, i, j) {
        min = q;
        if i == j
                if q->left != 0
                        min = q = q->left;
                        j = j + 1
                else 
                        return q;
        if q->left != 0
                lt = smallest(q->left, i, (j + 1) mode k);
                if min->el.keys[i] >= lt->el.keys[i]
                        min = lt;
        if q->right != 0
                rt = smallest(q->right, i, (j + 1) mode k);
                if min->el.keys[i] >= rt->el.keys[i]
                        min = rt;
        return min;
}复制代码

到此为止，咱们已经介绍了kd二叉查找树的建立、查找、添加、删除算法。可是咱们依然有不少困惑没有解决，好比说添加或者删除会破坏kd树的平衡，怎么处理？删除算法复杂且效率不高，怎么改进？kd二叉查找树有哪些应用？等等，这些问题在下一篇文章进行探讨。

数据结构与算法-kd二叉树(kNN)