AcWing 171. 送礼物(双向搜索)

题目描述

原题连接

分析

该问题像是一个$01背包$问题, 可是$01背包$的时间复杂度是 $O(N\ast W)$,再一看本题的数据范围$1\le W\le 2^{31}-1$, 确定会超时
若是暴力搜索呢? 时间复杂度大概是$O(2^{46})$,也会超时
因此咱们就采用双向搜索的策略: 把$46$件物品分红两部分, 先搜索出前一部分物品所能组成的重量, 再搜索出后一部分物品所能组成的重量$y$, 而且在搜索第二部分的同时, 二分答案, 从第一部分物品组成的全部重量中二分出一个最大重量x, 使其知足 $x+y\le w$, 从而更新答案
如何分呢? 原则是让两部分搜索的时间复杂度大体相同, 因为第二部分除了搜索以外会进行二分答案,因此就让第一部分物品多一些,这里取$前24件$,第二部分取剩余的$22$件


优化:
$1.$每次进行搜索以前, 将重量从大到小排序, 这样在搜索时会更快的达到边界
$2.$搜索完第一部分后, 使用unique去重, 由于第一部分物品所能组成的重量可能有重复

关于unique的用法: 参考大佬blog

参考Y总视频讲解

实现

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 50;
int m, n, k, cnt, ans;
int g[N], w[1<<24]; // 最多会组成2^24种重量
bool cmp(int a, int b)
{
    return a > b;
}
void dfs_1(int index, int weight)
{
    if(index == k)
    {
        w[cnt++] = weight;
        return;
    }
    if((ll)weight + g[index] <= m) dfs_1(index + 1, weight + g[index]);
    dfs_1(index + 1, weight);
}
void dfs_2(int index, int weight)
{
    if(index == n)
    {
        int l = 0, r = cnt - 1;
        while(l < r)
        {
            int mid = (l + r + 1) >> 1;
            if((ll)w[mid] + weight <= m) l = mid;
            else r =  mid-1;
        }
        ans = max(ans , weight + w[l]);
        return;
    }
    if((ll) weight + g[index] <= m) dfs_2(index + 1, weight + g[index]);
    dfs_2(index + 1, weight);
}
int main()
{
    cin >> m >> n;
    for(int i=0; i<n; i++) cin >> g[i];
    sort(g, g+n, cmp);
    k = n/2 + 2;
    dfs_1(0,0);
    
    sort(w, w+cnt);
    
    cnt = unique(w, w+cnt) - w;
    dfs_2(k, 0);
    
    cout << ans << endl;
    system("pause");
    return 0;
}