面试题精选:求根号2简单？高级算法你确定不会

时间 2020-07-25

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前两天逛github看到一道很简单的面试题——如何不用库函数快速求出$\sqrt2$的值，精确到小数点后10位！第一反应这不很简单嘛，大学数据结构课讲二分查找的时候老师还用这个作过示例。但转念一想，能做为大厂的面试题，背后绝对没有那么简单，因而我google了下，结果找到了更巧妙的数学方法，甚至发现了一件奇闻趣事…… 一道简简单单的面试题，不只能考察到候选人的编程能力，还能间接考察到候选人的数学素养，难怪不少大厂都会问这个。。。

回到正题，求$\sqrt2$究竟有多少种解法，咱们由简入难一步步来看下咱们是如何让计算机更快计算sqrt的。html

二分查找

首先是稍微具有点编程和数据结构基础的人都能想到的二分查找，这里我再也不具体讲解思路，但仍是要编码测试下，主要是测试须要迭代多少次才能到达小数点后10位的精度。java

public class BSearch {
    static double sqrt2 = 1.4142135624;
    static double delta = 0.0000000001;
    public static void main(String[] args) {
        double l = 1.0;
        double r = 2.0;
        int cnt = 0;
        while (l < r) {
            double mid = (l + r) / 2;
            if (Math.abs(l - sqrt2) < delta) {
                break;
            }
            if (mid * mid > 2.0) {
                r = mid;
            } else {
                l = mid;
            }
            cnt++;
        }
        System.out.println("通过" + cnt + "次迭代后得" + l);
    }
}

通过34次迭代后得1.4142135623260401

记住这个迭代次数34。python

牛顿迭代

数学学得好的同窗确定知道牛顿迭代法，它是求解线性方程近似解的方法，由于有些方程没法快速求出精确解，只能尽量去逼近。git

回到咱们求解$\sqrt2$上，咱们能够构造出多项式方程f(x)，使得$f(x)=0$的一个正根是$\sqrt2$，最简单的就是$f(x) = x^2 - 2= 0$，而后咱们就能够运用牛顿迭代求解它的根了。github

$$ x_{1}=x_{0}-\frac{f\left(x_{0}\right)}{f^{\prime}\left(x_{0}\right)} = x_0 - \frac{x_0^2-2}{2x_0} $$ 面试

为了更直观些，咱们图例展现下迭代两次的过程。

上图中黑色的曲线是$f(x)=x^2-2$，咱们最终想要的是它和x轴的交点X，也就是$\sqrt2$的具体值。A点的坐标是(2,2)，绿色的线是$f(x)=x^2-2$在点A处的切线，洋红色线是过A点的垂线。咱们选的牛顿迭代初始点就是B，设B点的横坐标是$x_0$，按求导的定义，AC点的斜率就是$f^{\prime}(x)$，AB的长度就是$f(x)$，知道了AB的长度，AC的斜率，BC的长度也就很好求了，就是$\frac{f\left(x_{0}\right)}{f^{\prime}\left(x_{0}\right)}$，因此C点的横坐标就是$x_1 = x_0 - \frac{f\left(x_{0}\right)}{f^{\prime}\left(x_{0}\right)}$。算法

怎么样，迭代一次以后就很逼近咱们真正想要的X了，如今咱们在C点把一样的事情再作一遍，以下图。

再一次迭代后获得了点E，点E比点C更加逼近X点，我把上图中点E局部放大以下。

能够看到点E已经至关接近$\sqrt2$了，这只是两次迭代的效果，写个代码来看下到底须要迭代多少次就能达到精确到小数点后10位的精度。编程

具体代码以下，这里我取x的初始值为2.0 由于$\sqrt2$不可能大于2，咱们知道这点就能够取个近似值，减小迭代次数。数据结构

public class NewtonMethod {
    static double sqrt2 = 1.4142135624;
    static double delta = 0.0000000001;
    public static void main(String[] args) {
        double x = 2.0;
        int cnt = 0;
        while (Math.abs(x - sqrt2) > delta){
            x = x - (x*x - 2)/(2*x);
            cnt++;
        }
        System.out.println("通过" + cnt + "次迭代后得" + x);
    }
}

通过4次迭代后得1.4142135623746899

只须要4次迭代就能达到二分34次迭代的效果了，确实明显快多了。这里再补充一点，实际上x的初始值能够取任意正数，可是会影响到性能，我尝试取1亿，最终须要30次迭代，不过仍是比二分快。架构

为了客观对比下牛顿迭代和二分的性能差别，这里我仍是用JMH压测下，结果以下，压测结果仅供参考。

Benchmark           Mode  Cnt         Score   Error  Units
Test.NewtonMethod  thrpt    2  96292165.813          ops/s
Test.bSearch       thrpt    2  11856462.059          ops/s

到这里文章进度条只有一半，你是否是以为我下面要讲比牛顿迭代更好更快的方法？实际我目前没有找到比牛顿迭代又好又快的算法了，可是我找到一个相关的故事，以及它引出的以牺牲精度换取速度求$\frac{1}{\sqrt{x}}$的神奇算法，固然它也能够用来求$\sqrt2$。

神奇的数字0x5f3759df

这首先要从一个诡异的常数提及—— __0x5f3759df__，提到这个常数还得提到一个游戏，Quake-III Arena (雷神之锤3)。

这是90年代的经典游戏之一。该系列的游戏不但画面和内容不错，并且即便计算机配置低，也能极其流畅地运行。这款游戏后来在GPL协议下开源，github地址 https://github.com/id-Software/Quake-III-Arena，你们从中发现其中一个可以快速求解$\frac{1}{\sqrt{x}}$的函数，代码以下。

float InvSqrt(float x)
{
    float xhalf = 0.5f*x;
    int i = *(int*)&x;
    i = 0x5f3759df - (i >> 1);
    x = *(float*)&i;
    x = x*(1.5f - xhalf*x*x);
    return x;
}

看完代码的我

其实这个算法就是牛顿迭代单次的近似解法，具体证实请看卡马克快速平方根倒数算法，它能以几十倍的速度优点秒杀其余算法，要知道几十年前的CPU速度可远不及如今的，速度就是绝对优点。这段代码看起来神奇，它的来源也很离奇。

开始你们都觉得这个算法是游戏的开发者Carmack发现的，但后来调查发现，该算法在这以前就在计算机图形学的硬件与软件领域中有所应用，如SGI和3dfx就曾在产品中应用此算法，因此至今都无人知晓这个算法是谁发明的。

但传奇并无结束。Lomont计算出结果之后很是满意，因而拿本身计算出的起始值和卡马克的神秘数字作比赛，看看谁的数字可以更快更精确求得平方根。结果是卡马克赢了... 谁也不知道卡马克是怎么找到这个数字的。最后Lomont怒了，采用暴力方法一个数字一个数字试过来，终于找到一个比卡马克数字要好上那么一丁点的数字，虽然实际上这两个数字所产生的结果很是近似，这个暴力得出的数字是0x5f375a86。Lomont为此写下一篇论文 Fast Inverse Square Root。 From 百度百科

来看看这个算法的实际运行效果怎么样吧，下面是我修改后的java代码，上面的C代码中有些操做java中并不支持，因此须要作些改动。

public class CarmackMethod {
    public static void main(String[] args) {
        float x = 2.0f;
        float xhalf = 0.5f*x;
//        int i = *(int*)&x;
        int i= Float.floatToRawIntBits(x);
        i = 0x5f3759df - (i >> 1);
//        x = *(float*)&i;
        x = Float.intBitsToFloat(i);
        x = x*(1.5f - xhalf*x*x);
        System.out.println(1.0/x);
    }
}

1.4145671304934657

固然这里精度就不行了，只精确到了0.001。

这里我把上面3种算法的精度都下降到0.001而后用JMH作个不严格的性能测试。这里说不严格是由于我只作$\sqrt2$的测试，并且用的是java实现的，并且像是CarmackMethod的实现，可能由于java和c的运行机制的不一样，性能会受很大影响，下面这个结果 __仅供娱乐__，看看就好。

Benchmark            Mode  Cnt          Score   Error  Units
Test.CarmackMethod  thrpt    2  111286742.330          ops/s
Test.bSearch        thrpt    2   58705907.393          ops/s
Test.NewtonMethod   thrpt    2  110232331.339          ops/s

各类编程语言是如何实现sqrt?

上面说了3个解法，那你是否是也很好奇目前各类编程语言库函数里对sqrt是如何实现的？我也很好奇，因而咱们帮大家翻了jdk源码，发现它根本就不须要本身实现sqrt，毕竟sqrt在计算机领域是有个比较经常使用的计算，因此主流的CPU架构都提供了对sqrt的硬件支持，只须要一条汇编指令就能够了，在x86架构下sqrt能够直接用下面这条汇编指令。

sqrtsd %1, %0" : "=x" (res) : "xm" (x)

在Risc-v中能够能够用fsqrt.s或fsqrt.d指令，Rics-v中文手册

硬件能够在一个指令周期内完成一个数的开方，相比那些须要几十甚至成百上千个CPU指令实现的各类算法而言，这速度差别显而易见。实际上上，现代CPU在多核心、流水线、多发射、超标量……等技术的加持下，普通家用CPU均可以作到每秒百亿次的浮点运算。

__生活到处有惊喜__，当我打开python math模块的源码时，没有发现浮点数的求根(估计也是直接用的CPU级指令)，但我发现了一个更骚的对64位整数求根的操做，因此这里再补充介绍一个python的近似求根算法。

python中的_approximate_isqrt()

下面这段代码能够返回输入值求根后的整数部分，但彻底不知道是什么原理。

_approximate_isqrt(uint64_t n)
{
    uint32_t u = 1U + (n >> 62);
    u = (u << 1) + (n >> 59) / u;
    u = (u << 3) + (n >> 53) / u;
    u = (u << 7) + (n >> 41) / u;
    return (u << 15) + (n >> 17) / u;
}

源码中有注释，这段C代码能够翻译为如下python代码，不过我依旧看不懂。

def isqrt(n):
        """
        Return the integer part of the square root of the input.
        """
        n = operator.index(n)
        if n < 0:
            raise ValueError("isqrt() argument must be nonnegative")
        if n == 0:
            return 0
        c = (n.bit_length() - 1) // 2
        a = 1
        d = 0
        for s in reversed(range(c.bit_length())):
            # Loop invariant: (a-1)**2 < (n >> 2*(c - d)) < (a+1)**2
            e = d
            d = c >> s
            a = (a << d - e - 1) + (n >> 2*c - e - d + 1) // a
        return a - (a*a > n)

结语

这篇博客从立题到完成经历了好几天的时间，期间整理思路、编码、绘图、查阅资料、修改完善总累计耗时近8h。写做不易，若是文章对你有用欢迎素质三连(点赞、收藏加关注) 。

引用连接

[1] 牛顿迭代法: https://baike.baidu.com/item/...
[2] 卡马克快速平方根倒数算法: http://jcf94.com/2016/01/14/2...
[3] Fast Inverse Square Root: http://read.pudn.com/download...
[4] From 百度百科: https://baike.baidu.com/item/...
[5] 这条汇编指令: https://code.woboq.org/usersp...
[6] Rics-v中文手册: http://crva.ict.ac.cn/documen... Chinese-v2p1.pdf
[7] python math模块: https://github.com/python/cpy...