关于几率指望

目录

• 几率指望
  • 先说几个基础概念
  • 几率怎么求
  • 几率的性质
  • 古典概型
  • 再说几个基础概念
  • 随机变量的指望值
  • 随机变量小例题
  • 指望的线性性
    • 证实:
    • 完整连贯无解释版
  • 指望步数
  • 对于离散变量X
  • 指望的线性性小例题
  • 例题摘选
    • 1. 凑齐整数
    • 2.当老大的几率
    • 3.谁在前面谁在后面

几率指望

感谢gzy学长

先说几个基础概念

（本人是这样理解的）

随机现象 ： 有几率出现的现象，好比明天会下雨
必然现象 ： 必定会出现的现象，好比 acioi天下第一帅 太阳会从东边升起
样本空间 ：是一个集合，通常用S表示，包括所有可以出现的现象
元素 ：通常用e来表示，某个可以出现的现象，\(e \in S\)
随机事件 ： 和元素意义差很少都是S里面的，通常用A表示，包含多个元素
集合运算 ：(全集为S)
1. \(A\bigcup B\) ：A与B里面的元素至少一个发生就能够
2. \(A\bigcap B\) ：发生的元素在A中也在B中，还能够表示为\(A·B\),\(AB\)
3. \(A-B\) ： 属于A可是并不属于B的，也就是A和B中，A独有的
4. \(\overline{AB}\)：\(\{e\notin A \bigcap B\}\)
P(A)：事件A发生的几率
随机变量：有多种可能的取值变量，通常设为X

几率怎么求

随机时间A发生的几率怎么求呢？
随机时间A发生的几率先用P(A)表示出来
A里面可能包含多个元素，只要A里面的元素中有一个发生了，那么就是A发生了，随意A发生的几率就是A中全部的元素发生的几率和，即为：
\[P(A) = \sum_{e\in A}P(e)\]

几率的性质

1.\(1 \ge P(A) \ge 0\)

由于一件事最低的几率就是不发生，也就是0，因此几率最低就是0，最高是必定发生，因此几率最高就是1

2.\(\sum\limits_{e\in S}P(e) = 1\)

全集S中的每一件事的几率加起来必定是1，由于无论发生S中的任意一件事，都在S里面，因此S的几率就是100%，也就是1，里面的每个元素发生的几率都是这个100%里面的一部分

3.\(P(\bigcup\limits_{i = 1}^{\infty}A_i) = \sum\limits_{i-1}^{\infty}P(A_i)\)
(\(A_i\)两两互斥)
很显然，只是一个前后顺序的转换，能够当作是今天你打算作n道菜，等于号前面的就是你先把n道菜作完再一块儿吃，等于号后面就能够当作你作完一道菜就吃一道菜。

古典概型

\[P(e) = \dfrac{1}{\left| S \right|}\]
若是每个元素出现的几率均等的话，那S里面任意一个元素出现的几率就是S的大小分之1
\[P(A)=\dfrac{\left| A \right|}{\left| S \right|}\]
仍是上面的那个条件，每个元素出现的几率均等，那么A集合出现的几率就是A集合中的元素个数除以S集合中的元素个数

再说几个基础概念

独立事件：互不影响，知足\(P(A*B) = P(A) * P(B)\)
E(X)：表示X事件发生的指望
对于独立事件：\(E(A\times B) = E(A) \times E(B)\)

随机变量的指望值

对于随机变量X，有公式：
\[E(X) = \sum P(X = i) \times i\]
什么意思呢？
假设每个随机变量x都有本身的值，\(X_i\)对应的随机变量值就是i，那么这个数的指望值就是\(X_i\)这个随机变量出现的几率乘以他的值，即为上面的公式

随机变量小例题

求2次骰子投掷出的点数和的指望值

只须要枚举两个骰子投掷出的点数，他们的指望值就是这个状况出现的概率乘以这个点数和
\(E(X_1 + X_2) = \sum\limits_{i=1}^6\sum\limits_{j=1}^6P(X=i)P(X=j)(i+j)\)

指望的线性性

\[E(X+Y) = E(X) + E(Y)\]

证实:

(再次感谢gyh小学妹,感谢gzy学长)
（下面是分布来介绍的，若是以为本身能够，看后面完整连贯无解释版的）
\(E(X+Y)=\sum\limits_{i=1}\sum\limits_{j=1}P(X=i)P(X=j)(i+j)\)
\(=\sum\limits_{i=1}\sum\limits_{j=1}(i\times P(X=i)\times P(X=j)+j\times P(X=i)\times P(X=j))\)
\(=\sum\limits_{i=1}i\times P(X=i)\times P(X=j) + \sum\limits_{j=1}j\times P(X=i)\times P(X=j))\)
由于
\(E(X) = \sum\limits_{i=1}P(X=i) \times i\)
\(E(Y) = \sum\limits_{i=j}P(Y=j) \times j\)
因此上面没有完成的式子
\(=E(X)\times P(X=j) + E(Y)\times P(Y = i)\)
这个时候有用到了一开始的
\(\sum\limits_{e\in S}P(e) = 1\)
而\(P(X=i)\)的意思就是S集合里面的所有数的几率加起来
\(P(Y=j)\)等同，这两个都和\(\sum\limits_{e\in S}P(e)\)的意思同样，因此都等于1
因此再一次继续没完成的式子:
\(=E(X)\times 1 + E(Y) \times 1\)
\(=E(X) + E(Y)\)

完整连贯无解释版

\(E(X+Y)=\sum\limits_{i=1}\sum\limits_{j=1}P(X=i)P(X=j)(i+j)\)
\(=\sum\limits_{i=1}\sum\limits_{j=1}(i\times P(X=i)\times P(X=j)+j\times >P(X=i)\times P(X=j))\)
\(=\sum\limits_{i=1}i\times P(X=i)\times P(X=j) + \sum\limits_{j=1}j\times >P(X=i)\times P(X=j))\)
\(=E(X)\times P(X=j) + E(Y)\times P(Y = i)\)
\(=E(X)\times 1 + E(Y) \times 1\)
\(=E(X) + E(Y)\)

指望步数

指望步数我也不知道到底有没有这么一个定义，是我本身理解的
指的是指望第一次发生
几率为P的时间指望\(\dfrac {1}{p}\)次后发生

对于离散变量X

对于离散变量X，\(P(X=k)=P(X\le k) - P(X\le{k-1})\)

指望的线性性小例题

n个随机变量X[1……n]，每一个随机变量都是从1-S中随机一个整数求Max(X[1……n])的指望
Max(X[1……n])指的是这一段数中最大的数

\(E(Max(X[1……n])) = \sum\limits_{i=1}^SP(Max(X[1……n]) = i) \times i\)
\(=\sum\limits_{i=1}^S[P(M\le i) - P(M\le {i-1})] \times i\)
\(=\sum\limits_{i=1}^S[(\dfrac{i}{S})^n - (\dfrac{i-1}{S})^n] \times i\)

先解释一下第一步，为何出来了\(P(M\le i) - P(M\le {i-1})\)，这就用到了前缀和的思想了，\(P(M\le i) - P(M\le {i-1}) = P(M=i)\)这很显然就是正确的，因此原式到第一步没有问题，可是这样作有什么意义呢？

不着急，且看第二步
这样看一下，\(P(M\le i)\)的几率，先看\(P(M\le i)\)，就是每个数都是小于等于i的状况那么一位是小于等于i的几率就是\(\dfrac{i}{S}\)，因此n位都小于等于i的几率就是\((\dfrac{i}{S})^n\)，同理\((\dfrac{i-1}{S})^n\)也能够求出来了。

\(P(Max(X[1……n]) = i)\)是很难求的，可是进行完第一步以后就很好算了，这就是第一二步的意义所在了。

例题摘选

（名字是我本身取的不喜勿喷）

1. 凑齐整数

每次随机一个[1,n]的整数，问指望几回可以凑齐全部的整数

令：\(A_i\)表示凑完了\(i-1\)个数，凑第\(i\)的指望步数
一共有\(n\)个数，凑完了\(i-1\)个，那就还有\(n-(i-1)\)个数，即\(n-i+1\)个数没有出现，因此第\(i\)个位置出现一个以前没有出现过的数的几率就是\(\dfrac{n-i+1}{n}\)，因此指望步数就是\(\dfrac{1}{p}\)，等于\(\dfrac{n}{n-i+1}\)
式子：
\[E(\sum\limits_{i=1}^nA_i) = \sum\limits_{i=1}^nE(A_i)=\sum\limits_{i=1}^n\dfrac{n}{n-i+1}\]

2.当老大的几率

随机一个长度为n的排列P，求P[1……i]中P[i]是最大数的几率

只有两种可能P是最大数，P不是最大数，因此几率就是\(\dfrac{1}{2}\)
.........
很无语，虽然这么思考百分之99都是错误的，可是用在这里恰好合适，等价的思想，嗯。

3.谁在前面谁在后面

随机一个长度为n的排列P，求i在j后面的几率

嗯，又是和上面同样只有两种可能i在j前面和i在j后面，因此可能性又是
\(\dfrac{1}{2}\)，等价的思想。
不过想要严格证实一下也是能够的：
\[\dfrac{C_n^2(n-2)!}{2n!}\] n个数里面取2个数，剩下的直接拍序，组合的方式是(n-2)的阶乘种，而后总的方案数是n!种，因此几率就是n个数里面取2个数的方案乘以(n-2)!再除以n!，不过单纯的取2个数有i在j前面也有i在j后面的可能，各占一半的几率，因此再除以2就是最后的结果了。