理解图像的卷积

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从数学上讲，卷积就是一种运算。

某种运算，能被定义出来，至少有如下特征：

• 首先是抽象的、符号化的
• 其次，在生活、科研中，有着普遍的做用

好比加法：

•  ，是抽象的，自己只是一个数学符号
• 在现实中，有很是多的意义，好比增长、合成、旋转等等

卷积，是咱们学习高等数学以后，新接触的一种运算，由于涉及到积分、级数，因此看起来以为很复杂。

1 卷积的定义

咱们称  为  的卷积

其连续的定义为：

其离散的定义为：

这两个式子有一个共同的特征：

这个特征有什么意义？

咱们令  ，那么  就是下面这些直线：

若是遍历这些直线，就比如，把毛巾沿着角卷起来：

此处受到 荆哲：卷积为何叫「卷」积？ 答案的启发。

只看数学符号，卷积是抽象的，很差理解的，可是，咱们能够经过现实中的意义，来习惯卷积这种运算，正如咱们小学的时候，学习加减乘除须要各类苹果、糖果来帮助咱们习惯同样。

咱们来看看现实中，这样的定义有什么意义。

2 离散卷积的例子：丢骰子

我有两枚骰子：

把这两枚骰子都抛出去：

求：

这里问题的关键是，两个骰子加起来要等于4，这正是卷积的应用场景。

咱们把骰子各个点数出现的几率表示出来：

那么，两枚骰子点数加起来为4的状况有：

所以，两枚骰子点数加起来为4的几率为：

符合卷积的定义，把它写成标准的形式就是：

3 连续卷积的例子：作馒头

楼下早点铺子生意太好了，供不该求，就买了一台机器，不断的生产馒头。

假设馒头的生产速度是  ，那么一天后生产出来的馒头总量为：

馒头生产出来以后，就会慢慢腐败，假设腐败函数为  ，好比，10个馒头，过24小时都会腐败：

想一想就知道，第一个小时生产出来的馒头，一天后会经历24小时的腐败，第二个小时生产出来的馒头，一天后会经历23小时的腐败。

如此，咱们能够知道，一天后，馒头总共腐败了：

这就是连续的卷积。

4 图像处理

4.1 原理

有这么一副图像，能够看到，图像上有不少噪点：

高频信号，就好像平地耸立的山峰：

看起来很显眼。

平滑这座山峰的办法之一就是，把山峰刨掉一些土，填到山峰周围去。用数学的话来讲，就是把山峰周围的高度平均一下。

平滑后获得：

4.2 计算

卷积能够帮助实现这个平滑算法。

有噪点的原图，能够把它转为一个矩阵：

而后用下面这个平均矩阵（说明下，原图的处理实际上用的是正态分布矩阵，这里为了简单，就用了算术平均矩阵）来平滑图像：

记得刚才说过的算法，把高频信号与周围的数值平均一下就能够平滑山峰。

好比我要平滑  点，就在矩阵中，取出  点附近的点组成矩阵  ，和  进行卷积计算后，再填回去：

要注意一点，为了运用卷积，  虽然和  同维度，但下标有点不同：

我用一个动图来讲明下计算过程：

写成卷积公式就是：

要求  ，同样能够套用上面的卷积公式。

这样至关于实现了  这个矩阵在原来图像上的划动（准确来讲，下面这幅图把  矩阵旋转了  ）：