C++生成彻底二叉树

C++生成彻底二叉树

2019-12-20

By Gauss

1.背景介绍

彻底二叉树是效率很高的数据结构，彻底二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为彻底二叉树。

2.特色：

 

叶子结点只可能在最大的两层上出现,对任意结点，若其右分支下的子孙最大层次为L，则其左分支下的子孙的最大层次必为L 或 L+1；

 

出于简便起见,彻底二叉树一般采用数组而不是链表存储,其存储结构以下:

 

var tree:array[1..n]of longint;{n:integer;n>=1}

 

对于tree[i]，有以下特色：

 

（1）若i为奇数且i>1，那么tree的左兄弟为tree[i-1]；

 

（2）若i为偶数且i<n，那么tree的右兄弟为tree[i+1]；

 

（3）若i>1，tree的父亲节点为tree[i/2]；

 

（4）若2*i<=n，那么tree的左孩子为tree[2*i]；若2*i+1<=n，那么tree的右孩子为tree[2*i+1]；

 

（5）若i>n div 2,那么tree[i]为叶子结点（对应于（3））；

 

（6）若i<(n-1) div 2.那么tree[i]必有两个孩子（对应于（4））。

 

（7）满二叉树必定是彻底二叉树，彻底二叉树不必定是满二叉树。

 

彻底二叉树第i层至多有2^（i-1）个节点，共i层的彻底二叉树最多有2^i-1个节点。

 

彻底二叉树的特色是：

 

1）只容许最后一层有空缺结点且空缺在右边，即叶子结点只能在层次最大的两层上出现；

 

2）对任一结点，若是其右子树的深度为j，则其左子树的深度必为j或j+1。 即度为1的点只有1个或0个

3.性质

若是一棵具备n个结点的深度为k的二叉树，它的每个结点都与深度为k的满二叉树中编号为1~n的结点一一对应，这棵二叉树称为彻底二叉树。

能够根据公式进行推导，假设n0是度为0的结点总数（即叶子结点数），n1是度为1的结点总数，n2是度为2的结点总数，则 ：

①n= n0+n1+n2 （其中n为彻底二叉树的结点总数）；又由于一个度为2的结点会有2个子结点，一个度为1的结点会有1个子结点，除根结点外其余结点都有父结点，

②n= 1+n1+2*n2 ；由①、②两式把n2消去得：n= 2*n0+n1-1，因为彻底二叉树中度为1的结点数只有两种可能0或1，由此获得n0=n/2 或 n0=(n+1)/2。

简便来算，就是 n0=n/2，其中n为奇数时（n1=0）向上取整；n为偶数时（n1=1）向下取整。可根据彻底二叉树的结点总数计算出叶子结点数。

4.代码实现

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 int a[100001];
 4 int buildtree(int n)
 5 {
 6     memset(a,-1,sizeof(a));
 7     for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=i;
 8 }
 9 int firsts(int n)
10 {
11     if(a[n]==-1) return 0;
12     printf("%d ",a[n]);
13     firsts(a[n]*2);
14     firsts(a[n]*2+1);
15 }
16 int main()
17 {
18     int T;
19     int n,m;
20     cin>>T;
21     while(T--)
22     {
23         scanf("%d",&n);
24         buildtree(n);
25         firsts(1);
26     }
27     return 0;
28 }

知识来源：百度百科