RSA算法详解及C语言实现

RSA算法它是第一个既能用于数据加密也能用于数字签名的算法。它易于理解和操做，也很流行。算法的名字以发明者的名字命名：Ron Rivest, Adi Shamir 和Leonard Adleman。但RSA的安全性一直未能获得理论上的证实。它经历了各类攻击，至今未被彻底攻破。

1、RSA算法 :

首先, 找出三个数, p, q, r,
其中 p, q 是两个相异的质数, r 是与 (p-1)(q-1) 互质的数
p, q, r 这三个数即是 private key

接著, 找出 m, 使得 rm == 1 mod (p-1)(q-1)
这个 m 必定存在, 由于 r 与 (p-1)(q-1) 互质, 用展转相除法就能够获得了
再来, 计算 n = pq
m, n 这两个数即是 public key

编码过程是, 若资料为 a, 将其当作是一个大整数, 假设 a < n
若是 a >= n 的话, 就将 a 表成 s 进位 (s <= n, 一般取 s = 2^t),
则每一位数均小於 n, 然後分段编码
接下来, 计算 b == a^m mod n, (0 <= b < n),
b 就是编码後的资料

解码的过程是, 计算 c == b^r mod pq (0 <= c < pq),
於是乎, 解码完毕 等会会证实 c 和 a 实际上是相等的   :)

若是第三者进行窃听时, 他会获得几个数: m, n(=pq), b
他若是要解码的话, 必须想办法获得 r
因此, 他必须先对 n 做质因数分解
要防止他分解, 最有效的方法是找两个很是的大质数 p, q,
使第三者做因数分解时发生困难
<定理>
若 p, q 是相异质数, rm == 1 mod (p-1)(q-1),
a 是任意一个正整数, b == a^m mod pq, c == b^r mod pq,
则 c == a mod pq

证实的过程, 会用到费马小定理, 叙述以下:
m 是任一质数, n 是任一整数, 则 n^m == n mod m
(换另外一句话说, 若是 n 和 m 互质, 则 n^(m-1) == 1 mod m)
运用一些基本的群论的知识, 就能够很容易地证出费马小定理的

<证实>
由于 rm == 1 mod (p-1)(q-1), 因此 rm = k(p-1)(q-1) + 1, 其中 k 是整数
由于在 modulo 中是 preserve 乘法的
(x == y mod z   and   u == v mod z   =>   xu == yv mod z),
因此, c == b^r == (a^m)^r == a^(rm) == a^(k(p-1)(q-1)+1) mod pq

1. 若是 a 不是 p 的倍数, 也不是 q 的倍数时,
    则 a^(p-1) == 1 mod p (费马小定理)   =>   a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod p
       a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理)   =>   a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
    因此 p, q 均能整除 a^(k(p-1)(q-1)) - 1   =>   pq | a^(k(p-1)(q-1)) - 1
    即 a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod pq
    =>   c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod pq

2. 若是 a 是 p 的倍数, 但不是 q 的倍数时,
    则 a^(q-1) == 1 mod q (费马小定理)
    =>   a^(k(p-1)(q-1)) == 1 mod q
    =>   c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == a mod q
    =>   q | c - a
    因 p | a
    =>   c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod p
    =>   p | c - a
    因此, pq | c - a   =>   c == a mod pq

3. 若是 a 是 q 的倍数, 但不是 p 的倍数时, 证实同上

4. 若是 a 同时是 p 和 q 的倍数时,
    则 pq | a
    =>   c == a^(k(p-1)(q-1)+1) == 0 mod pq
    =>   pq | c - a
    =>   c == a mod pq
                                         Q.E.D.

这个定理说明 a 通过编码为 b 再通过解码为 c 时, a == c mod n   (n = pq)
但咱们在作编码解码时, 限制 0 <= a < n, 0 <= c < n,
因此这就是说 a 等於 c, 因此这个过程确实能作到编码解码的功能

2、RSA 的安全性

RSA的安全性依赖于大数分解，可是否等同于大数分解一直未能获得理论上的证实，由于没有证实破解 RSA就必定须要做大数分解。假设存在一种无须分解大数的算法，那它确定能够修改为为大数分解算法。目前， RSA 的一些变种算法已被证实等价于大数分解。无论怎样，分解n是最显然的攻击方法。如今，人们已能分解多个十进制位的大素数。所以，模数n 必须选大一些，因具体适用状况而定。

3、RSA的速度

因为进行的都是大数计算，使得RSA最快的状况也比DES慢上倍，不管是软件仍是硬件实现。速度一直是RSA的缺陷。通常来讲只用于少许数据加密。

4、RSA的选择密文攻击

RSA在选择密文攻击面前很脆弱。通常攻击者是将某一信息做一下假装( Blind)，让拥有私钥的实体签署。而后，通过计算就可获得它所想要的信息。实际上，攻击利用的都是同一个弱点，即存在这样一个事实：乘幂保留了输入的乘法结构：

( XM )^d = X^d *M^d mod n

   前面已经提到，这个固有的问题来自于公钥密码系统的最有用的特征--每一个人都能使用公钥。但从算法上没法解决这一问题，主要措施有两条：一条是采用好的公 钥协议，保证工做过程当中实体不对其余实体任意产生的信息解密，不对本身一无所知的信息签名；另外一条是决不对陌生人送来的随机文档签名，签名时首先使用 One-Way HashFunction 对文档做HASH处理，或同时使用不一样的签名算法。在中提到了几种不一样类型的攻击方法。

5、RSA的公共模数攻击

若系统中共有一个模数，只是不一样的人拥有不一样的e和d，系统将是危险的。最广泛的状况是同一信息用不一样的公钥加密，这些公钥共模并且互质，那末该信息无需私钥就可获得恢复。设P为信息明文，两个加密密钥为e1和e2，公共模数是n，则：

C1 = P^e1 mod n

C2 = P^e2 mod n

密码分析者知道n、e一、e二、C1和C2，就能获得P。

由于e1和e2互质，故用Euclidean算法能找到r和s，知足：

r * e1 + s * e2 = 1

假设r为负数，需再用Euclidean算法计算C1^(-1)，则

( C1^(-1) )^(-r) * C2^s = P mod n

   另外，还有其它几种利用公共模数攻击的方法。总之，若是知道给定模数的一对e和d，一是有利于攻击者分解模数，一是有利于攻击者计算出其它成对的e’和d’，而无需分解模数。解决办法只有一个，那就是不要共享模数n。

    RSA的小指数攻击。 有一种提升 RSA速度的建议是使公钥e取较小的值，这样会使加密变得易于实现，速度有
所提升。但这样做是不安全的，对付办法就是e和d都取较大的值。

    RSA算法是第一个能同时用于加密和数字签名的算法，也易于理解和操做。RSA是被研究得最普遍的公钥算法，从提出到如今已近二十年，经历了各类攻击的考验，逐渐为人们接受，广泛认为是目前最优秀的公钥方案之一。RSA的安全性依赖于大数的因子分解，但并无从理论上证实破译RSA的难度与大数分解难度等价。即RSA的重大缺陷是没法从理论上把握它的保密性能 如何，并且密码学界多数人士倾向于因子分解不是NPC问题。 RSA的缺点主要有：A)产生密钥很麻烦，受到素数产生技术的限制，于是难以作到一次一密。B)分组长度太大，为保证安全性，n 至少也要 600 bits 以上，使运算代价很高，尤为是速度较慢，较对称密码算法慢几个数量级；且随着大数分解技术的发展，这个长度还在增长，不利于数据格式的标准化。目前，SET( Secure Electronic Transaction )协议中要求CA采用比特长的密钥，其余实体使用比特的密钥。

C语言实现

#include <stdio.h> int candp(int a,int b,int c) { int r=1; b=b+1; while(b!=1) {     r=r*a;     r=r%c;     b--; } printf("%d\n",r); return r; } void main() { int p,q,e,d,m,n,t,c,r; char s; printf("please input the p,q: "); scanf("%d%d",&p,&q); n=p*q; printf("the n is %3d\n",n); t=(p-1)*(q-1); printf("the t is %3d\n",t); printf("please input the e: "); scanf("%d",&e); if(e<1||e>t) {      printf("e is error,please input again: ");      scanf("%d",&e); } d=1; while(((e*d)%t)!=1)   d++; printf("then caculate out that the d is %d\n",d); printf("the cipher please input 1\n"); printf("the plain please input 2\n"); scanf("%d",&r); switch(r) {     case 1: printf("input the m: "); /*输入要加密的明文数字*/             scanf("%d",&m);             c=candp(m,e,n);             printf("the cipher is %d\n",c);break;     case 2: printf("input the c: "); /*输入要解密的密文数字*/             scanf("%d",&c);             m=candp(c,d,n);             printf("the cipher is %d\n",m);break; } getch(); }