python机器学习——逻辑回归

咱们知道感知器算法对于不能彻底线性分割的数据是无能为力的，在这一篇将会介绍另外一种很是有效的二分类模型——逻辑回归。在分类任务中，它被普遍使用

逻辑回归是一个分类模型，在实现以前咱们先介绍几个概念：

概率（odds ratio）：
\[ \frac {p}{(1-p)} \]
其中p表示样本为正例的几率，固然是咱们来定义正例是什么，好比咱们要预测某种疾病的发生几率，那么咱们将患病的样本记为正例，不患病的样本记为负例。为了解释清楚逻辑回归的原理，咱们先介绍几个概念。

咱们定义对数概率函数（logit function）为：
\[ logit(p) = log \frac {p}{(1-p)} \]
对数概率函数的自变量p取值范围为0-1，经过函数将其转化到整个实数范围中，咱们使用它来定义一个特征值和对数概率之间的线性关系为：
\[ logit(p(y=1|x)) = w_0x_0+w_1x_1+...+w_mx_m = \sum_i^nw_ix_i=w^Tx \]
在这里，p(y=1|x)是某个样本属于类别1的条件几率。咱们关心的是某个样本属于某个类别的几率，恰好是对数概率函数的反函数，咱们称这个反函数为逻辑函数（logistics function），有时简写为sigmoid函数：
\[ \phi(z) = \frac{1}{1+e^{-z}} \]
其中z是权重向量w和输入向量x的线性组合：
\[ z = w^Tx=w_0+w_1x_1+...+w_mx_m \]
如今咱们画出这个函数图像：

import matplotlib.pyplot as plt

import numpy as np

def sigmoid(z):
    return 1.0 / (1.0 + np.exp(-z))

z = np.arange(-7, 7, 0.1)

phi_z = sigmoid(z)

plt.plot(z, phi_z)
plt.axvline(0.0, color='k')
plt.axhspan(0.0, 1.0, facecolor='1.0', alpha=1.0, ls='dotted')
plt.yticks([0.0, 0.5, 1.0])
plt.ylim(-0.1, 1.1)
plt.xlabel('z')
plt.ylabel('$\phi (z)$')
plt.show()

能够看出当z接近于正无穷大时，函数值接近1，一样当z接近于负无穷大时，函数值接近0。因此咱们知道sigmoid函数将一个实数输入转化为一个范围为0-1的一个输出。

咱们将逻辑函数将咱们以前学过的Adaline联系起来，在Adaline中，咱们的激活函数的函数值与输入值相同，而在逻辑函数中，激活函数为sigmoid函数。

sigmoid函数的输出被解释为某个样本属于类别1的几率，用公式表示为：
\[ \hat y=\begin{cases}1,\quad \phi(z)\ge 0.5 \\\\0,\quad otherwise\end{cases} \]
也就是当函数值大于0.5时，表示某个样本属于类别1的几率大于0.5，因而咱们就将此样本预测为类别1，不然为类别0。咱们仔细观察上面的sigmoid函数图像，上式也等价于：
\[ \hat y=\begin{cases}1,\quad z\ge 0.0 \\\\0,\quad otherwise\end{cases} \]
逻辑回归的受欢迎之处就在于它能够预测发生某件事的几率，而不是预测这件事情是否发生。

咱们已经介绍了逻辑回归如何预测类别几率，接下来咱们来看看逻辑回归如何更新权重参数w。

对于Adaline，咱们的损失函数为：
\[ J(w) = \sum_i\frac12(\phi(z^{(i)})-y^{(i)})^2 \]
咱们经过最小化这个损失函数来更新权重w。为了解释咱们如何获得逻辑回归的损失函数，在构建逻辑回归模型时咱们要最大化似然L（假设数据集中的全部样本都是互相独立的）：
\[ L(w)=P(y|x,w)=\prod^n_{i=1}P(y^{(i)}|x^{(i)};w)=\prod^n_{i=1}(\phi(z^{(i)}))^{y^{(i)}}(1-\phi(z^{(i)}))^{1-y^{(i)}} \]
一般咱们会最大化L的log形式，咱们称之为对数似然函数：
\[ l(w)=logL(w)=\sum_{i=1}^n\left[y^{(i)}log(\phi(z^{(i)})+(1-y^{(i)})log(1-\phi(z^{(i)}))\right] \]
这样作有两个好处，一是当似然很小时，取对数减少了数字下溢的可能性，二是取对数后将乘法转化为了加法，能够更容易的获得函数的导数。如今咱们可使用一个梯度降低法来最大化对数似然函数，咱们将上面的对数似然函数转化为求最小值的损失函数J：
\[ J(w)=\sum_{i=1}^n\left[-y^{(i)}log(\phi(z^{(i)}))-(1-y^{(i)})log(1-\phi(z^{(i)}))\right] \]
为了更清晰的理解上式，咱们假设对一个样本计算它的损失函数：
\[ J(\phi(z),y;w)=-ylog(\phi(z))-(1-y)log(1-\phi(z)) \]
能够看出，当y=0时，式子的第一部分为0，当y=1时，式子的第二部分为0，也就是：
\[ J(\phi(z),y;w)=\begin{cases}-log(\phi(z)),\quad if\ y=1 \\\\-log(1-\phi(z)),\quad if \ y=0\end{cases} \]

能够看出，当咱们预测样本所属于的类别时，当预测类别是样本真实类别的几率越大时，损失越接近0，而当预测类别是真实类别的几率越小时，损失越接近无穷大。

做为举例，咱们这里对权重向量w中的一个份量进行更新，首先咱们求此份量的偏导数：
\[ \frac{\partial }{\partial w_j}l(w) = \left(y\frac{1}{\phi(z)}-(1-y)\frac{1}{1-\phi(z)}\right)\frac{\partial }{\partial w_j}\phi(z) \]
在继续下去以前，咱们先计算一下sigmoid函数的偏导数：
\[ \frac{\partial }{\partial z}\phi(z) = \frac{\partial }{\partial z}\frac{1}{1+e^{-z}}=\frac{1}{(1+e^{-z})^2}e^{-z}=\frac{1}{1+e^{-z}}(1-\frac{1}{1+e^{-z}})\\=\phi(z)(1-\phi(z)) \]
如今咱们继续：
\[ \left(y\frac{1}{\phi(z)}-(1-y)\frac{1}{1-\phi(z)}\right)\frac{\partial }{\partial w_j}\phi(z)\\=\left(y\frac{1}{\phi(z)}-(1-y)\frac{1}{1-\phi(z)}\right)\phi(z)(1-\phi(z))\frac{\partial }{\partial w_j}z\\=\left(y(1-\phi(z))-(1-y)\phi(z)\right)x_j\\=(y-\phi(z))x_j \]
因此咱们的更新规则为：
\[ w_j = w_j + \eta\sum^n_{i=1}\left(y^{(i)}-\phi(z^{(i)})\right)x_j^{(i)} \]
由于咱们要同时更新权重向量w的全部份量，因此咱们更新规则为（此处w为向量）：
\[ w = w+\Delta w\\\Delta w = \eta\nabla l(w) \]
由于最大化对数似然函数也就等价于最小化损失函数J，因而梯度降低更新规则为：
\[ \Delta w_j=-\eta\frac{\partial J}{\partial w_j}=\eta\sum^n_{i=1}\left(y^{(i)}-\phi(z^{(i)})\right)x^{(i)}_j\\w=w+\Delta w,\Delta w=-\eta \nabla J(w) \]