LeetCode 刷题记录 ｜004：两个排序数组的中位数

. 背景知识

我发现leetcode上的题，都有一个特色，就是初一看，这么简单。再一看，真tm难。

我把这道题发群里，很多人以为这道题简单。我只能说你去试着作一下就清楚了。

这道题，在难度系数为5，这是什么概念呢。是LeetCode是难度系数最高的。

这道题，要想作对。

须要知道两个知识。

• 什么是中位数

• 什么是时间复杂度为O(log(n+m))

第一点，什么是中位数。
比方说：
奇位数：[3, 6, 9]的中位数是6
偶位数：[3, 6, 8, 9]的中位数是6+8/2 = 7

第二点：时间复杂度。
什么是时间复杂度，我也很难讲得明白。若是你须要了解更多，你能够去找本算法的书，亦或者网上搜下。我这里只能讲本节须要了解的知识噢。

log级别的时间复杂度，老司机都会联想到「二分查找法」。

我们举个例子说.

如今让你在一个有序列表 [1,3,6,7,9,13,15,17,23] 里找出17在哪一个位置上。

使用二分查找法，是先拿这个列表最中的数9，先和17进行比较，发现17>9，那再拿9后面的子列表[13,15,17,23]的最中间的数，因为是偶数，我们取中位数16和17对比，发现小于16<17，再后面的子列表[17,23]的中位数20和17对比，发现17<20，最后只剩下17这一个数了，取出其索引，就知道他的位置了。

上面这个列表长度是9，用时间复杂度来看，就是 log29=3.1699250014

其意思是说，最多须要3次。和咱们上面例子，找出17的位置用了三次（这是最坏的状况下用的次数）是吻合的。

必定要注意的是，使用二分查找法的前提是列表已是有序。这和咱们本道题，并不同

. 个人答案

惭愧。这道题三个小时我都没作出来，没有想到一个好的思路。遂放弃。

即便这样，在看别人的答案时，依然有一种醍醐灌顶的感受（前提是你有思考过）。具体的解析，在下面我会来剖析，否则相信有很多人会看不懂。

. 网上的答案

对于一个长度为n的已排序数列a。
若n为奇数，中位数为a[n / 2 + 1], 若n为偶数，则中位数(a[n / 2] + a[n / 2 + 1]) / 2; 若是咱们能够在两个数列中求出第K小的元素，即可以解决该问题; 不妨设数列A元素个数为n，数列B元素个数为m，各自升序排序，求第k小元素; 取A[k / 2] B[k / 2] 比较; 若是 A[k / 2] > B[k / 2] 那么，所求的元素必然不在B的前k / 2个元素中(证实反证法); 
反之，必然不在A的前k / 2个元素中，因而咱们能够将A或B数列的前k / 2元素删去，求剩下两个数列的; k - k / 2小元素，因而获得了数据规模变小的同类问题，递归解决; 若是 k / 2 大于某数列个数，所求元素必然不在另外一数列的前k / 2个元素中，同上操做就好。

若是人读上面的思路以为难以理解，让小明来试着解释一番。

若是是奇数，那么中位数一定在两个列表A和B中的某个元素。
若是是偶数，那么中位数必定是两个元素的平均数。

那么问题，咱们能够将其转化一下。
若是是奇数，就要再两个列表里找到一个第m小的数。
若是是偶数，就要再两个列表里找到一个第n小和第n+1小的数，而后再取平均数。

如今思路比较清晰了，不管是哪一种状况，咱们都得找到第k小的数。因此咱们得实现一个这样的公共函数。

整个问题的精髓都在这个公共函数里。包括上面的二分查找法的思想，也将在这里面体现。

class Solution(object):
    def findMedianSortedArrays(self, nums1, nums2):
        """
        :type nums1: List[int]
        :type nums2: List[int]
        :rtype: float
        """
        len1, len2 = len(nums1), len(nums2)
        if (len1 + len2) % 2 == 1:
            # 是奇数
            return self.getKth(nums1, nums2, (len1 + len2)//2 + 1)
        else:
            # 是偶数
            return (self.getKth(nums1, nums2, (len1 + len2)//2) +
                    self.getKth(nums1, nums2, (len1 + len2)//2 + 1)) * 0.5

    # 公共函数：查找两个列表里第k小的数
    def getKth(self, A, B, k):
        m, n = len(A), len(B)
        # 保证A比B长度短
        if m > n:
            return self.getKth(B, A, k)

        left, right = 0, m
        # 这个while循环，是找A中<=(整个有序数组中第k个数)的最大数
        while left < right:
            mid = left + (right - left) // 2
            # --------------------------------------------
            # x = k - 1 - mid：表示在B中前k-mid个的索引
            if 0 <= k - 1 - mid < n and A[mid] >= B[k - 1 - mid]:
                # 进入这里，代表B中的前k-mid个都比中位数小，被剔除
                right = mid
            else:
                # 进入这里，代表A中的前mid个都比中位数小，被剔除
                left = mid + 1
            # --------------------------------------------

        Ai_minus_1 = A[left - 1] if left - 1 >= 0 else float("-inf")
        # 这个是找B中<=(整个有序数组中第k个数)的最大数
        Bj = B[(k - left) - 1] if k - 1 - left >= 0 else float("-inf")

        return max(Ai_minus_1, Bj)

在看代码的时候，上面两长线包围的代码块，是最难以理解的部分，这里再解释一下。

假设咱们要找两个列表里第k小的数，那么必将有x个在A列表，k-x个在B列表。
如何找出这个x是何值呢，就使用二分查找法，一次一次试探。

先从A列表中找到最中间的数（这边使用//，向下取整，假设其索引为m），去和B列表中的第k-m，对比，若是A[m]<B[k-m]，那么说明A的前m个元素都比第k小的那个数小，能够剔除了。

接下来，到A[m+1:]的最中间的数（假设其索引为n）和B[:]中每(k-m)-n对比，和上面同样，再剔除一半，直到最后，只剩下一个数。这个数在A中比第k小的数小的最大数。听起来很绕，请必定去仔细阅读代码。

好啦。剖析就到这里。小明已经尽量把这个解法讲得简单明了。相信比网上大多数的讲解都更加让人容易理解。

. 总结

在这道题目中，我陷入了一个死胡同，说是求中位数，我就硬抓着中位数不放。到最后也没能想出一个很好的思路。

到最后看了大神们的解答，才知道，有的时候能够将问题转换一个思路，问题就迎刃而解了。