什么是向量积以及其几何意义

什么是向量积？

向量积，也称（向量）叉积，（向量）叉乘，外积，是一种在向量空间中对向量进行的二元运算。常见于物理学力学、电磁学、光学和计算机图形学等理工学科中，是一种很重要的概念。

设向量 \(\overrightarrow{c}\) 由两个向量 \(\overrightarrow{a}\) 和 \(\overrightarrow{b}\) 按以下公式定出：\(\overrightarrow{c}\) 的模 \(|\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|sinθ\)，其中 \(θ\) 为 \(\overrightarrow{a}\) 和 \(\overrightarrow{b}\) 间的夹角；\(\overrightarrow{c}\) 的方向垂直于 \(\overrightarrow{a}\) 和 \(\overrightarrow{b}\) 所决定的平面，指向按右手规则从 \(\overrightarrow{a}\) 转向 \(\overrightarrow{b}\) 来肯定，以下图：

那么，向量 \(\overrightarrow{c}\) 叫作向量 \(\overrightarrow{a}\) 与 \(\overrightarrow{b}\) 的向量积，记做 \(\overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}\)。

由上述的定义，咱们很容易总结出两条性质：

\[\begin{align} \overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}&=\overrightarrow{0} \tag{其中 $\overrightarrow{a}$ 平行$\overrightarrow{b}$}\\ \overrightarrow{a}×\overrightarrow{b}&=- \overrightarrow{b}×\overrightarrow{a} \tag{不知足交换律} \end{align} \]

下面来推导向量积的坐标表达式，以二维向量为例。设 \(\overrightarrow{a}=(a_x, a_y)，\overrightarrow{b}=(b_x, b_y)\)，得：

仔细观察上式，得出：

1. \(a_xb_y-a_yb_x>0\)，则 \(\overrightarrow{b}\) 在 \(\overrightarrow{a}\) 的逆时针方向上（参照 \(\overrightarrow{i}\) 和 \(\overrightarrow{j}\) 的位置）；
2. \(a_xb_y-a_yb_x<0\)，则 \(\overrightarrow{b}\) 在 \(\overrightarrow{a}\) 的顺时针方向上；
3. \(a_xb_y-a_yb_x=0\)，则 \(\overrightarrow{a}\) 和 \(\overrightarrow{b}\) 共线，可是否同向不肯定。