[LeetCode] Minimum Swaps To Make Sequences Increasing 使得序列递增的最小交换

 

We have two integer sequences A and B of the same non-zero length.

We are allowed to swap elements A[i] and B[i].  Note that both elements are in the same index position in their respective sequences.

At the end of some number of swaps, A and B are both strictly increasing.  (A sequence is strictly increasing if and only if A[0] < A[1] < A[2] < ... < A[A.length - 1].)

Given A and B, return the minimum number of swaps to make both sequences strictly increasing.  It is guaranteed that the given input always makes it possible.

Example:
Input: A = [1,3,5,4], B = [1,2,3,7]
Output: 1
Explanation: 
Swap A[3] and B[3].  Then the sequences are:
A = [1, 3, 5, 7] and B = [1, 2, 3, 4]
which are both strictly increasing.

Note:

• A, B are arrays with the same length, and that length will be in the range [1, 1000].
• A[i], B[i] are integer values in the range [0, 2000].

 

这道题给了咱们两个长度相等的数组A和B，说是能够在任意位置i交换A[i]和B[i]的值，咱们的目标是让数组A和B变成严格递增的数组，让咱们求出最少须要交换的次数。博主最早尝试了贪婪算法，就是遍历数组，若是当前数字小于等于前面一个数字，那么就交换一下，可是问题就来了，究竟是交换当前位置的数字，仍是前一个位置的数字呢，好比下面这个例子：

0   4   4   5

0   1   6   8

咱们究竟是交换4和1呢，仍是4和6呢，虽然两种方法都能让前三个数字严格递增，可是若是交换了4和6，那么第一个数组的最后一个5就又得交换了，那么就要多交换一次，因此这个例子是交换4和1，可是对于下面这个例子：

0   4   4   7

0   1   6   5

那么此时咱们就要交换4和6了，这样只要交换一次就能使两个数组都变成严格递增的数组了。因此这道题用贪婪算法不work，咱们必须使用别的方法，那么此时动态规划Dynamic Programming就闪亮登场了。

像这种求极值的题目，不是Greedy就是DP啊，通常难题偏DP的比较多。而DP解法的第一步就是要肯定dp数组该怎么定义，若是咱们定义一个一维数组dp，其中dp[i]表示使得范围[0, i]的子数组同时严格递增的最小交换次数，这样的话状态转移方程就会十分的难写，由于咱们没有解耦合其内在的关联。当前位置i是否交换，只取决于和前面一位是不是严格递增的，而前一位也有交换或者不交换两种状态，那么前一位的不一样状态也会影响到当前是否交换，这跟以前那道Best Time to Buy and Sell Stock with Transaction Fee就十分到相似了，那道题的股票也有保留或者卖出两种状态不停的切换。那么这里咱们也须要维护两种状态，swap和noSwap，那么swap[i]表示范围[0, i]的子数组同时严格递增且当前位置i须要交换的最小交换次数，noSwap[i]表示范围[0, i]的子数组同时严格递增且当前位置i不交换的最小交换次数，两个数组里的值都初始化为n。因为须要跟前一个数字比较，因此咱们从第二个数字开始遍历，那么就须要给swap和noSwap数组的第一个数字提早赋值，swap[0]赋值为1，由于其表示i位置须要交换，noSwap[0]赋值为0，由于其表示i位置不须要交换。

好，下面来分析最难的部分，状态转移方程。因为这道题限制了必定能经过交换生成两个同时严格递增的数组，那么两个数组当前位置和前一个位置之间的关系只有两种，一种是不用交换，当前位置的数字已经分别大于前一个位置，另外一种是须要交换后，当前位置的数字才能分别大于前一个数字。那么咱们来分别分析一下，若是当前位置已经分别大于前一位置的数了，那么讲道理咱们是不须要再进行交换的，可是swap[i]限定了咱们必需要交换当前位置i，那么既然当前位置要交换，那么前一个位置i-1也要交换，同时交换才能继续保证同时递增，这样咱们的swap[i]就能够赋值为swap[i-1] + 1了。而noSwap[i]直接赋值为noSwap[i-1]便可，由于不须要交换了。第二种状况是须要交换当前位置，才能保证递增。那么swap[i]正好也是要交换当前位置，而前一个位置不能交换，那么便可以用noSwap[i-1] + 1来更新swap[i]，而noSwap[i]是不能交换当前位置，那么咱们能够经过交换前一个位置来一样实现递增，便可以用swap[i-1]来更新noSwap[i]，当循环结束后，咱们在swap[n-1]和noSwap[n-1]中返回较小值便可，参见代码以下：

 

解法一：

class Solution {
public:
    int minSwap(vector<int>& A, vector<int>& B) {
        int n = A.size();
        vector<int> swap(n, n), noSwap(n, n);
        swap[0] = 1; noSwap[0] = 0;
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            if (A[i] > A[i - 1] && B[i] > B[i - 1]) {
                swap[i] = swap[i - 1] + 1;
                noSwap[i] = noSwap[i - 1];
            }
            if (A[i] > B[i - 1] && B[i] > A[i - 1]) {
                swap[i] = min(swap[i], noSwap[i - 1] + 1);
                noSwap[i] = min(noSwap[i], swap[i - 1]);
            }
        }
        return min(swap[n - 1], noSwap[n - 1]);
    }
};

 

咱们能够优化上面解法的空间复杂度，因为当前位置的值只跟前一个位置相关，因此咱们并不须要保存整个数组，用四个变量来分别表示当前位置和前一个位置的各两种状态，能够实现一样的效果，参见代码以下：

 

解法二：

class Solution {
public:
    int minSwap(vector<int>& A, vector<int>& B) {
        int n1 = 0, s1 = 1, n = A.size();
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            int n2 = INT_MAX, s2 = INT_MAX;
            if (A[i - 1] < A[i] && B[i - 1] < B[i]) {
                n2 = min(n2, n1);
                s2 = min(s2, s1 + 1);
            }
            if (A[i - 1] < B[i] && B[i - 1] < A[i]) {
                n2 = min(n2, s1);
                s2 = min(s2, n1 + 1);
            }
            n1 = n2;
            s1 = s2;
        }
        return min(n1, s1);
    }
};

 

相似题目：

Best Time to Buy and Sell Stock with Transaction Fee

 

参考资料：

https://leetcode.com/problems/minimum-swaps-to-make-sequences-increasing/solution/

https://leetcode.com/problems/minimum-swaps-to-make-sequences-increasing/discuss/119835/Java-O(n)-DP-Solution

https://leetcode.com/problems/minimum-swaps-to-make-sequences-increasing/discuss/120516/C++-solution-with-explanation

 

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