【CodeForces】908 D. New Year and Arbitrary Arrangement

【题目】Good Bye 2017 D. New Year and Arbitrary Arrangement算法

【题意】给定正整数k,pa,pb,初始有空字符串,每次有pa/(pa+pb)的可能在字符串末尾+a,有pb/(pa+pb)的可能在字符串末尾+b,求加到组成至少k对子序列“ab"时的指望子序列“ab”数。k<=1000,pa,pb<=10^6。ide

【算法】指望DPurl

【题解】主要问题在于字符串无限延伸,那么须要考虑记录前缀的关键量来为DP设置终止状态。spa

设f[i][j]表示前缀中有i个a和j个ab中止后的指望长度,A=pa/(pa+pb),B=pb/(pa+pb)。.net

状态转移方程:f[i][j]=A*f[i+1][j]+B*f[i][i+j]code

接下来解决两个问题:blog

1.终止状态:当i+j>=k时,再加一个b就会终止,指望为i+j+c,其中:字符串

c=0*B+1*A*B+2*A^2*B+...+∞*A^∞*Bget

等差*等比数列,运用高中数学的错位相减法(特别的,A^∞=0),能够获得:数学

c=pa/pb

故有终止状态f[i][j]=i+j+pa/pb,i+j>=k。

2.初始状态:初始空字符串为f[0][0],可是会发现f[0][0]会从f[0][0]自己转移,其缘由是没有a时会无限加b,解决办法是初始状态设为f[1][0]。

#include<cstdio>
const int m=1e9+7,N=1010; void gcd(int a,int b,int&x,int &y){ if(!b){x=1;y=0;} else{gcd(b,a%b,y,x);y-=x*(a/b);} } int inv(int a){int x,y;gcd(a,m,x,y);return (x%m+m)%m;} int f[N][N],k,pa,pb,A,B,C; int main(){ scanf("%d%d%d",&k,&pa,&pb); A=1ll*pa*inv(pa+pb)%m;B=(1-A+m)%m;C=1ll*pa*inv(pb)%m; for(int i=k;i>=1;i--)for(int j=k;j>=0;j--) f[i][j]=i+j>=k?(i+j+C)%m:(1ll*A*f[i+1][j]+1ll*B*f[i][i+j])%m; printf("%d",f[1][0]); return 0; }
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