JavaEE在线就业班2.0

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引理

設m爲一個常數，(A,A_1, A_2)爲(m\times p)矩陣，(B,B_1,B_2)爲(n\times q)的矩陣，C爲(p\times s)矩陣，D爲(q\times t)矩陣，則有下面這些定理的呈現

[(1)m(A\times B)=(mA)\times B \ (2)A\times (B_1+ B_2)=A\times B_1 + A\times B_2\ (3)(A_1 + A_2)\times B = A_1 \times B + A_2\times B\ (4)(A\times B)^T=A^T \times B^T\ (5)(A\times B)(C\times D)=AC\times BD\ \ (這個與料想的不一样) ]

（1）~（4）顯然成立，现在證明（5）

充吧01章-延迟任务系统接口开发
充吧02章-延迟任务系统接口缓存优化
充吧03章-延迟任务系统接口线程优化
充吧04章-延迟任务系统服务化
充吧05章-话费充值业务
充吧06章-充值业务完善及链路追踪
充吧07章-数据库分库分表
拓展学习(选学)
收起
Java秒杀系统实战-上
Java秒杀系统实战-下
Java设计模式之策略模式实战课程
JavaEE与人工智能
MySQL数据库性能优化
第七章 微信机器人
第八章 人脸识别案例
第九章 分布式事务案例实战(一)
第十章 分布式事务案例实战(二)
第十一章 第一章 环境搭建和平台管理端数据字典
第十二章 第二章 平台管理端&登陆
第十三章 第三章 app端用户实名认证
第十四章 第四章 素材管理
第十五章 第五章 自媒体人发布文章
第十六章 第六章 kafka与第三方接口对接
第十七章 第七章 自媒体人文章审核
第十八章 第八章 平台管理-人工审核
第十九章 第九章 app端前端项目与文章详情展现
第二十章 第十章 app端文章详情开发（行为相关
第二十一章: 第十一章 app端评论系统开发
第二十二章: 第十二章 app端搜索功能
第二十三章: 第十三章 优化-热冷数据区分
第二十四章: 第十四章 项目持续&项目部署
第二十五章: 第十五章 项目链路追踪
第二十六章: 第十六章 项目总结&就业指导

辦法一：運用矩陣的(Kronecker) 積結構(Hadamard)矩陣
定義2.1

​ 設(A=(a{ij}))爲一個(m\times p)的矩陣，(B=(b{ij}))爲一個(n\times q)矩陣，令:

[A\times B=\begin{bmatrix} a{11}B & a{12}B & \dots & a{1p}B\ a{21}B & a{22}B & \dots & a{2p}B\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\ a{m1}B & a{m2}B & \dots & a_{mp}B \end{bmatrix} ]

這樣的方式(A\times B)被稱做爲直積，也被叫作(Kronecker)積

引理

設m爲一個常數，(A,A_1, A_2)爲(m\times p)矩陣，(B,B_1,B_2)爲(n\times q)的矩陣，C爲(p\times s)矩陣，D爲(q\times t)矩陣，則有下面這些定理的呈現

[(1)m(A\times B)=(mA)\times B \ (2)A\times (B_1+ B_2)=A\times B_1 + A\times B_2\ (3)(A_1 + A_2)\times B = A_1 \times B + A_2\times B\ (4)(A\times B)^T=A^T \times B^T\ (5)(A\times B)(C\times D)=AC\times BD\ \ (這個與料想的不一样) ]

（1）~（4）顯然成立，现在證明（5）

[A=\begin{bmatrix} a{11} & a{12} & \dots & a{1p}\ a{21} & a{22} & \dots & a{2p}\ \vdots& \vdots & \ddots & \vdots\ a{m1} & a{m2} & \dots & a{mp} \end{bmatrix}\ C=\begin{bmatrix} c{11} & c{12} & \dots & c{1s}\ c{21} & c{22} & \dots & c{2s}\ \vdots& \vdots & \ddots & \vdots\ c{p1} & c{p2} & \dots & c{ps} \end{bmatrix}\ (A\times B)(C\times D)=\begin{bmatrix} a{11}B & a{12}B & \dots & a{1p}B\ a{21}B & a{22}B & \dots & a{2p}B\ \vdots& \vdots & \ddots & \vdots\ a{m1}B & a{m2}B & \dots & a{mp}B \end{bmatrix}\begin{bmatrix} c{11}D & c{12}D& \dots & c{1s}D\ c{21}D & c{22}D & \dots & c{2s}D\ \vdots& \vdots & \ddots & \vdots\ c{p1}D & c{p2}D& \dots & c{ps}D \end{bmatrix}\ =\begin{bmatrix} \sum{i=1}^{p}a{1i}c{i1}BD & \sum{i=1}^{p}a{1i}c{i2}BD & \dots & \sum{i=1}^{p}a{1i}c{is}BD \ \vdots & \vdots & \dots & \vdots \ \sum{i=1}^{p}a{mi}c{i1}BD & \sum{i=1}^{p}a{mi}c{i2}BD & \dots & \sum{i=1}^{p}a{mi}c{is}BD \end{bmatrix}=(AC)\times (BD) ]

因此不難證明這個定理是成立的。

定理2.1
設(H_1)與(H_2)分別爲(m)階與(n)階(H-矩陣),則(H_1 \times H_2)爲(mn)階(H-矩陣)
證明：
[\begin{eqnarray} (H_1\times H_2)(H_1\times H_2)^T && =(H_1\times H_2)(H_1^T\times H_2^T)\ && =(H_1H_1^T)\times (H_2H_2^T)\ && =(mI)\times (nI)\ && =mnI \end{eqnarray} ]

推論1
若H爲一個m階(H-矩陣),則(\begin{pmatrix}H & H\ H & -H\end{pmatrix})是一個2m階(H-矩陣)
由於(H_2)是(\begin{pmatrix}1 & 1\ 1 & -1\end{pmatrix}),因此上述的結論顯然成立

推論2
恣意(t \geq 0, 2^i)階的(H-矩陣)都是必定存在的
辦法二：應用矩陣的強直積結構(Hadamard)矩陣
定義2.2.2 設(A)爲以下的(tm\times tm)矩陣
[A= \begin{bmatrix} A{11} & A{12} & \dots & A{1t}\ A{21} & A{22} & \dots & A{2t}\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\ A{t1} & A{t2} & \dots & A_{tt}\ \end{bmatrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ A是一個m\times m階矩陣\ ]

又設B爲以下的(tn\times tn)矩陣

[B = \begin{bmatrix} B{11} & B{12} & \dots & B{1t}\ B{21} & B{22} & \dots & B{2t}\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ B{t1} & B{t2} & \dots & B_{tt}\ \end{bmatrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ B是一個n\times n階矩陣 ]

令下式成立:

[A\otimes B=P= \begin{bmatrix} P{11} & P{12} & \dots & P{1t}\ P{21} & P{22} & \dots & P{2t}\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ P{t1} & P{t2} & \dots & P_{tt}\ \end{bmatrix} ]

其中(P{ij}=\sum{k=1}^{t}A{ik}\times B{kj}(1\leq i, j\leq t))則稱(P)爲(A)與(B)的強直積

元素換成矩陣的一種乘法

引理2.2.2 定義2.2.2中(A)與(B)若滿足

[AA^T=rI{tm};\ \ BB^T=sI{tm} ]

則

[(A\otimes B)(A\otimes B)^T=rsI_{tmn} ]

證明：設

[(A\otimes B)(A\otimes B)^T= \begin{bmatrix} L{11} & L{12} & \dots & L{1t}\ L{21} & L{22} & \dots & L{2t}\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\ L{t1} & L{t2} & \dots & L_{tt}\ \end{bmatrix} ]

則有當(1\leq a, b \leq t),

[\begin{eqnarray} L{ab} &&=\sum{k=1}^t(A{a1}\times B{1k} + A{a2}\times B{2k}+\dots+A{at}\times B{tk})(A{b1}^T\times B{1k}^T+A{b2}^T\times B{2k}^T+\dots + A{bt}^T\times B{tk}^T)\ &&=\sum{k=1}^{t}\sum{i=1}^{t}\sum{j=1}^{t}(A{ai}\times B{ik})(A{bj}^T\times B{jk}^T)\ &&=\sum{k=1}^{t}\sum{i=1}^{t}\sum{j=1}^{t}(A{ai}A{bj}^T)\times (B{ik}B{jk}^T)\ &&=\sum{k=1}^{t}\sum{i=1}^{t}(A{ai}A{bj}^T)\times\sum{j=1}^{t}(B{ik}B_{jk}^T) \end{eqnarray} ]

剖析：

[B{ik}B{jk}= \begin{cases} 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ i\neq j\ sI_{n} \ \ \ \ \ \ \ i=j \end{cases} ]

而：

[A{ai}A{bj}= \begin{cases} 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a\neq b\ rI_{m} \ \ \ \ \ \ a=b \end{cases} ]

則能夠晓得只要當(a=b)時分才有值不等於零，而這個值就是(rsImn), 證畢！

定理2.2.2
若(A)爲(2m)階的(H-矩陣),(B)爲(2n)階的(H-矩陣)，則(2mn)階矩陣(H-矩陣)也必然存在。
證明：

令

[C=\frac{1}{2}A \begin{bmatrix} I_m & I_m\ I_m & -I_m \end{bmatrix} ]

這麼設的目的完整是爲了結構

則：

[CC^T=\frac{1}{2}AA^TmI{2m}=mI{2m} ]

易知:

[BB^T=2nI_{2n} ]

則經過引理晓得：

若

[H=C\otimes B ]

則：

[HH^T=(C\otimes B)(C \otimes B)^T=2mnI_{2mn} ]

因此說這個(2mn)階的(H-矩陣)必定存在的，證畢！

辦法三： 應用反形(H-矩陣)和(H-矩陣)睦偶來結構(Hadamard)矩陣
定義2.2.3
若存在一個(H-矩陣)(H)，滿足條件(H=S+I),(S^T=-S),則稱(H)是一個反形(H-矩陣)
定義2.2.4
若存在(H-矩陣)(H),若滿足(H^T=H),則稱(H-矩陣)是對稱(H-矩陣)
定義2.2.5
設(M)是一個反型(H-矩陣)，(N)是一個同階的對稱(H-矩陣),假如滿足條件
[MN=NM^T ]

則稱(M)和(N)爲一對(Hadamard)矩陣睦偶，简稱一對(H-矩陣)睦偶
也就是說這個MN矩陣是對稱矩陣

定理2.2.3
(1) (h)階反型(H-矩陣)(H=U+I);

(2) (m)階(H-矩陣)睦偶(M=W+I), (N=N^T)

(3)三個(l)（1， -1）矩陣(X,Y,Z)滿足

[(XY^T)^T=XY^T, (YZ^T)^T=YZ^T,\ (ZX^T)^T=ZX^T,XX^T=aI+(l-a)J,\ YY^T=cI+(l-c)J,ZZ^T=(l+1)I-J; ]

這里的，((m-1)c=m(l-h+1)-a),那麼矩陣

[\overline{H}=U\times N\times Z + I_{n}\times W\times Y + I_n\times I_m \times X ]

是一個(mlh)階的(H-矩陣)

證明： 由(\overline{H})的結構式子可知，(\overline{H})是一個(1, -1)矩陣，另一方面，由條件(1),(2)知:

[U^T=-U,UU^T=(h-1)I_h;\W^T=-W，WW^T=(m-1)I_m\ MN=NM^T,MM^T=N^2=mI_m,WN=NW^T(下有简單證明) ]

M,N都是兩個(Hadamard)矩陣，因此有(MM^T=NN^T=mI_m)

[MN=NM^T\ (W+I)N=N(W+I)^T\ WN=NW^T\ ]

![VJV6CX3~CFFM1Y_1Z6TM84O.png]()

因此這個(\overline{H})Hadamard矩陣存在
Hadamard矩陣學習

Hadamard矩陣引見就到這里
![image.png]()

课後的一個習題

假如說(Ax=0)那麼(A^TAx=0)因此說，(Ax=0)的解必定屬於(A^TAx=0)的解

假如說(A^TAx=0)，然後左右同時乘以(x^T)(\Rightarrow)(x^TA^TAx=0)(\Rightarrow)(||Ax||=0)也就是說這個(Ax=0)成立

因此說這兩個矩陣(A^TA與A)矩陣同階

假如說(A^2)與(A)具备同一個nullspace，那麼這個矩陣(A)必定就是方陣

爲處理的問題:

假如說N(A)是一個零向量，那麼也就是說這個(Ax=0)的列向量空間滿秩了，

假如說B= (\begin{bmatrix}A & A & A\end{bmatrix})假如去找(Bx=0)的解，由於A曾經是列滿秩，那麼會多出來

1.4 Elimination and (A = LU)
高斯消變換元法： 只不過需求把變換矩陣寫出來
(L)是一個變換矩陣（左下角三角矩陣），(U)是一個被變換矩陣（右上角三角矩陣）
小小頭腦風暴

前面學過的矩陣的合成，我們能夠晓得關於方程組(Ax=0)的解實践上是解的(A)的行向量空間的解，那麼我們天經地義的晓得(xA=0)的解是行空間的解。

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運用以前學習的矩陣的(A=CMR)能夠對每一列的元素與之對應的行中止結構，使得一切的行與列都能夠結構出一個秩爲1的新矩陣，最後再加和起來就構成了矩陣的合成，有時分需求強調的是，矩陣合成過後不必定是兩個上下三角的矩陣，因此需求酌情中止行變換！留意是行變換
這麼作的確是有點费事，我想要算矩陣的行列式，本来應該十分疾速（直接轉換稱爲上三角矩陣），可是這種辦法的益處在與把變換矩陣也順便存儲了下來，防止了矩陣行變換時分的變化招致的原矩陣與後來矩陣的不等關係

![image.png]()

計算上類行列式公式：(|A|=a(b-a)(c-b)(d-c))也就是除了第一行元素之外的一切相對差值之積

二次型的規範化的合同過程，由於對稱，因此兩個方向上的變換能夠由一個變換矩陣來描绘
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關於選择矩陣拆分的時分，假如選择從左上角往右下角去拆，获得的將會是很規範的矩陣變換方式，可是假如從左下到右上角的變換，則會變成兩個不那麼規範的變換矩陣的乘積方式，因此引薦運用從左上到右下，也就是從第一行第一列開端變換

1.5 Orthogonal Matrices and Subspaces
左逆與右逆矩陣
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關於左右僞逆矩陣，經過左右逆矩陣的方式結構出來的，例如左僞逆矩陣的(L=(A^TA)^{-1}A^H\Rightarrow (A^TA)^{-1}A^HA=I)

顯然成立，這就是顯然成立

實質上就是經過矩陣無法增維的想法，首先先結構一個滿秩的(n\times n)的矩陣空間，隨後逆過去，使得(A)做用於這個變換矩陣，最後获得我們的左僞逆。

鏇轉矩陣與反射矩陣