初等函数

初等函数

初等函数（基本函数）是由常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数通过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有限次乘方、有限次开方）及有限次函数复合所产生、而且在定义域上能用一个方程式表示的函数。

通常来讲，分段函数不是初等函数，由于在这些分段函数的定义域上不能用一个解析式表示。

目录

• 1常函数
• 2幂函数
• 3指数函数
• 4对数函数
• 5三角函数
  • 5.1正弦函数
  • 5.2余弦函数
  • 5.3正切函数
  • 5.4余切函数
  • 5.5正割函数
  • 5.6余割函数
• 6反三角函数
• 7其它常见初等函数
  • 7.1双曲函数
  • 7.2反双曲函数
• 8扩展阅读
• 9外部连接

常函数

称{\displaystyle f(x)=C}为常数函数，其中C为常数，它的定义域为{\displaystyle (-\infty ,\infty )}。

幂函数

称形如{\displaystyle f(x)=Cx^{r}}的函数为幂函数，其中C, r为常数。幂函数的定义域与r的值有关，可是无论r取何值，该函数在{\displaystyle (0,+\infty )}上总有意义。

指数函数

称形如{\displaystyle f(x)=a^{x}}的函数为指数函数，其中a是常数，{\displaystyle a>0}且{\displaystyle a\neq 1}。该函数的定义域为{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}，值域为{\displaystyle (0,+\infty )}

对数函数

称形如{\displaystyle y=\log _{a}x\!}的函数为对数函数，其中{\displaystyle a>0}且{\displaystyle a\neq 1}，是指数函数{\displaystyle y=a^{x}}的反函数。该函数定义域为{\displaystyle (0,+\infty )}，值域为{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}

三角函数

正弦函数

称形如{\displaystyle f(x)=\sin x}的函数为正弦函数，它的定义域为{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}，值域为{\displaystyle [-1,1]}，最小正周期为{\displaystyle 2\pi }。

余弦函数

称形如{\displaystyle f(x)=\cos x}的函数为余弦函数，它的定义域为{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}，值域为{\displaystyle [-1,1]}，最小正周期为{\displaystyle 2\pi }。

正切函数

称形如 {\displaystyle f(x)=\tan x}的函数为正切函数，它的定义域为{\displaystyle \{x|x\neq k\pi +{\frac {\pi }{2}},\,k\in \mathbb {Z} \}}，值域为{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}，最小正周期为{\displaystyle \pi }。

余切函数

称形如{\displaystyle f(x)=\cot x}的函数为余切函数，它的定义域为{\displaystyle \{x|x\neq k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} \}}，值域为{\displaystyle (-\infty ,+\infty )}，最小正周期为{\displaystyle \pi }。

正割函数

称形如{\displaystyle f(x)=\sec x}的函数为正割函数，它的定义域为{\displaystyle \{x|x\neq k\pi +{\frac {\pi }{2}},\,k\in \mathbb {Z} \}}，值域为{\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )}，最小正周期为{\displaystyle 2\pi }。

余割函数

称形如{\displaystyle f(x)=\csc x}的函数为余割函数，它的定义域为{\displaystyle \{x|x\neq k\pi ,\,k\in \mathbb {Z} \}}，值域为{\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,+\infty )}，最小正周期为{\displaystyle 2\pi }。

反三角函数

其它常见初等函数

双曲函数

双曲正弦函数：{\displaystyle y=\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
双曲余弦函数：{\displaystyle y=\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}
双曲正切函数：{\displaystyle y=\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}}

反双曲函数

反双曲正弦函数：{\displaystyle y=\operatorname {arsinh} \,x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})}
反双曲正切函数：{\displaystyle y=\operatorname {arcosh} \,x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})}