数据结构与算法-二叉查找树平衡(AVL)

上节讨论的DSW算法能够从全局从新平衡树：每一个节点均可能参与树的从新平衡，或者从节点中移除数据，或者从新设置指针的值。可是，当插入或删除元素时，将只影响树的一部分，此时树的从新平衡能够只在局部进行。局部平衡二叉查找树有一个鼎鼎大名的算法，叫作AVL算法，由AVL算法构建出来的二叉树称之为AVL树。

AVL树首先是一颗二叉查找树，其次，AVL树要求每一个节点左右子树的高度差最大为1。例如，图1-1中的全部树都是AVL树。节点中的数字表示平衡因子，即左右子树的高度差。平衡因子等于右子树的高度减去左子树的高度。对于AVL树，全部的平衡因子都应是+一、0或-1。平衡AVL树的技术不保证获得的树是彻底平衡的，但倒是高度平衡的。有关平衡的概念能够参考数据结构与算法-二叉查找树平衡(DSW)。

假设咱们已经有了一颗AVL树，那么如何保证在插入或者删除元素时继续保持AVL树的特性呢？

• 插入

前人对于AVL树的插入操做进行总结，发现一共有4种状况须要讨论。其中，在左子树中插入有两种状况，在右子树中插入也有两种状况。而且它们是对称的，所以，咱们以右子树为例，只须要讨论两种状况便可。

假设咱们在AVL树中插入一个新的节点p，那么p的父节点以及祖父节点的平衡因子都有可能改变，咱们从下到上更新节点的平衡因子，若是发现某个节点的平衡因子成为+2或者-2，那么就以该节点为根截取这段子树。若是根节点平衡因子成为了+2，表明节点插入到了右子树中，若是根节点平衡因子成为了-2，表明节点插入到了左子树。咱们这里只讨论+2，即节点插入到右子树上的两种状况。

若是节点平衡因子变成了+2，那么，咱们能够将这颗子树抽象出来，它必然是下面这种样子：

也就是说，若是插入新节点使P节点的平衡因子成了+2，那么以P为根的子树，必然是上面的样子。插入的新节点要么放在Q的左子树上，要么放在Q的右子树上，这就是咱们要讨论的两种状况。

一、RR

第一种状况有个简称，叫作RR，也就是说新节点插入到右子树的右节点，就像这样：

怎么处理呢？P节点的左子树比右子树低，还记得左旋的效果吗？左旋能够提升左子树的高度，下降右子树的高度，用在这里正合适。将Q节点围绕P节点进行左旋以后效果以下：

很是完美，左旋在这里产生了两个效果。首先，左旋使当前子树从新保持平衡，其次，左旋没有改变当前子树的高度。左旋以前子树高度为h + 2，左旋以后依然是h + 2。这就意味着，从Q节点开始往上的节点不须要更新平衡因子了。因此，左旋使得算法变得足够简单。

• RL

顾名思义，RL的意思是将新节点插入到右子树的左节点上，就像这样：

怎么处理呢？首先仍是左旋，可是很快你会发现，左旋确实提升了左子树高度，可是过高了，又形成了新的不平衡，就像这样：

究其缘由，是h + 1那颗子树大大提升了左子树高度，咱们必须把它放在右子树上才行，能够这样处理。首先，咱们认为，若是是由于在P树的右子树的左节点上插入元素致使P节点不平衡，那么，在没有插入新节点以前，P树确定是下面这种样子的：

Q的左子树插入了新的节点，可能插入到R的左子树或者右子树，先无论这个，为了下降Q的左子树的高度，将R围绕着Q进行右旋，结果是这样：

靠谱，R的左子树高度就是就是m1树的高度，既多是h - 1，也多是h，可是都比h + 1要小，这时咱们再作一次左旋，结果以下：

完美，R树最终平衡了，而且R树的高度依然保持在h + 2，这也意味着没必要更新R节点之上的祖先节点的平衡因子了。至于P和Q节点的平衡因子，这要看新节点是插入到m1树仍是m2树上了，可是不管如何，R树都已经高度平衡了。

总结一下，对于RL形式的子树，首先对右子树的左节点作一次右旋，而后对新的根节点作一次左旋便可。

插入还有LL，LR两种形式，可是它们分别和RR，RL形式对称，这里就很少介绍了。

这里有个我看到的很是精辟的总结，引用一下：

AVL树 算法思想与代码实现

下面介绍删除节点以后如何平衡二叉查找树。

• 删除

删除比插入更加复杂，可是有着插入节点积累的经验，理解删除反而更加容易。

删除节点首先面对的问题是平衡因子从哪一个节点开始变化的？这就要说到二叉查找树的删除逻辑了，在数据结构与算法-二叉查找树中有着详细的介绍。这里简单介绍一下，删除叶子节点或者度为1的节点，平衡因子从被删除节点的父节点开始变化。删除度为2的节点须要使用复制删除的技巧，使用被删除节点的直接前驱或者直接后继来替换被删除节点，而后删除直接前驱或者直接后继，那么，平衡因子就是从直接前驱或者直接后继的父节点开始变化的。

既然知道了平衡因子开始变化的节点，就能够从下到上的更新平衡因子的变化。

在探讨插入节点引发的二叉树的变化时，咱们总结出了RR、RL、LL、LR四种状况，删除节点会引发怎样的变化呢？

删除和插入有两个不一样点：

一、删除不只包含以上四中变化，还多出两种，固然这两种也是对称的

多出来的两种是当前节点的父节点的平衡因子等于+2或者-2时，当前节点的平衡因子等于0。

插入节点之因此没有这两种变化，是由于插入节点使当前节点平衡因子变成0，说明当前节点的高度没有变化，更加不会引发祖先节点的平衡因子变化了。而删除节点时，若是当前节点平衡因子变成0，那么当前节点的高度其实变小了，可能引发祖先节点的平衡因子变化。

怎么处理这种状况呢？若是父节点平衡因子等于+2，那就对当前节点进行左旋。若是父节点平衡因子等于-2，那就对当前节点进行右旋便可。

二、从新平衡过程没有在发现平衡因子为+2或者-2的第一个节点P后中止，而是追踪到根节点

在插入节点的从新平衡过程当中，咱们在乎的是第一个平衡因子为+2或者-2的节点，缘由在于咱们执行左旋或者右旋以后，子树不只从新平衡而且高度也和没有插入节点以前保持一致，所以，祖先节点的平衡因子就不会发生变化了。可是删除节点发生了变化，从新平衡以后子树的高度变小了。

为何从新平衡以后，插入节点高度不变而删除节点高度变小呢？

能够思考下平衡的过程，假设平衡因子变化为+2的节点为P，它的左子树高度为h，右子树高度必然为h + 1，只有在右子树插入新的节点，P节点的平衡因子才会变化为+2，从新平衡以后该树的左右子树高度为h + 1，所以该树的高度h + 2没有变化。可是对于删除又有不一样，假设P节点左子树高度为h，右子树高度必然为h + 1，只有在左子树删除节点以后，P节点的平衡因子才会变化为2，从新平衡以后该树的左右子树的高度为h，那么该树的高度h + 1比原来就减小了1。由于上述缘由，删除节点以后从新平衡的逻辑不能只执行一次，而是从平衡因子发生变化的节点开始往上一直追踪到根节点，发现不平衡的节点都要执行平衡逻辑。

到此为止，AVL树中添加和删除节点的逻辑已经探讨完毕。固然，这里纯粹是学术上的探讨，没有代码示例，更加精深的内容须要在实践中摸索。

知识的积累历来不是看了一两篇文章就能够完成的，毕竟，功夫在诗外。

数据结构与算法-自适应二叉树