若 a，b，c 是三个互不相等的大于0的天然数，且a+b+c=1155，则它们的最大公约数的最大值为______，最小公倍数的最小值为______，最小公倍数的最大值为______．spa
不得不说，这道题很是坑人
就连出这道题的人也作错了
(⊙o⊙)…（雾）
3d
废话很少说，开始写题解blog
先列一个短除模型
（1）求最大公约数的最大值。图片
a+b+c = m(x+y+z) = 1155 = 3 * 5 * 7 * 11ip
让最大公约数最大，也就是让m大
那么m既然大了，那x，y，z就得尽可能小且x ,y , z互不相同
x , y , z能小到哪儿去呢？
它们最小最小也只能是1 ，2 ，3（题目中说：“a，b，c 是三个互不相等的大于0的天然数”，因此x≠0 , y≠0 , z≠0）
class
然而
1155中没有6（1+2+3）
因此须要调整下
im
能调整到哪里去呢？
1155中，稍比6大一点的数只有7
那么x+y+z就等于7咯
img
那m呢？
m = 1155 ÷ 7 = 165
di
- 构造：
- 7 = 1+2+4
- a = 165*1 = 165
- b = 165*2 = 330
- c = 165*4 = 660
So，最大公约数的最大值为165co
这是第1道题，没问题吧？
来，看第2道小题
（2）求最小公倍数的最小值
若是你说答案是660
那你就大错特错了
660是一个标准的错误答案（我第一次作也错了）
这道题用的是这样一个表达方式
为了避免跟上面的x,y,z重复，我用了o,p,q
为了避免跟上面的m重复，我用了s
这样的话，s就得尽可能小了
那尽可能就让1/o , 1/p , 1/q 大
让一个分数要大，就得让它的分母小
o，p，q呢，就得尽可能小
o,p,q最小：1，2，3
（这不用我解释了吧）
很幸运的是
1155 ÷ （1+½+⅓）= 630
整数的最小公倍数必须是整数，由于是整数倍嘛
630是一个整数
不用再调整了
- 构造：
- a = 1*630 = 630
- b = ½*630 = 315
- c = ⅓*630 = 210
那么最小公倍数的最小值就是630了
如今,你可别说答案是660了哦
(3)求最小公倍数的最大值
这个就相对来讲简单一点了
要让最小公倍数最大,那尽可能就让这三个数互质(最大公约数是1)
那咱们知道
- 三个连续的天然数是互质的(Tips:顺序是奇数、偶数、奇数)
- 三个连续的奇数是互质的
先求出中间项:1155÷3=385
那么三个连续的天然数的顺序仍是奇数、偶数、奇数吗?
很明显不是了
那么三个连续的天然数都是奇数吗?
good，能够构造出来~
- 三个连续的天然数是互质的(Tips:顺序是奇数、偶数、奇数) (×)
- 三个连续的奇数是互质的(√）383 、385 、387
几个互质的数的最小公倍数是这几个数的乘积
383 * 385 * 387 = 57065085
- 构造：
- 上面写了
最小公倍数的最大值就为57065085
还有什么问题吗？
若有问题，