GAN半监督学习

概述

GAN的发明者Ian Goodfellow2016年在Open AI任职期间发表了这篇论文，其中提到了GAN用于半监督学习(semi supervised)的方法。称为SSGAN。 
作者给出了Theano+Lasagne实现。本文结合源码对这种方法的推导和实现进行讲解。1

半监督学习

考虑一个分类问题。 
如果训练集中大部分样本没有标记类别，只有少部分样本有标记。则需要用半监督学习(semi-supervised)方法来训练一个分类器。

wiki上的这张图很好地说明了无标记样本在半监督学习中发挥作用： 

如果只考虑有标记样本（黑白点），纯粹使用监督学习。则得到垂直的分类面。 
考虑了无标记样本（灰色点）之后，我们对样本的整体分布有了进一步认识，能够得到新的、更准确的分类面。

核心理念

在半监督学习中运用GAN的逻辑如下。

• 无标记样本没有类别信息，无法训练分类器；
• 引入GAN后，其中生成器(Generator)可以从随机信号生成伪样本；
• 相比之下，原有的无标记样本拥有了人造类别：真。可以和伪样本一起训练分类器。 
  

举个通俗的例子：就算没人教认字，多练练分辨“是不是字”也对认字有好处。有粗糙的反馈，也比没有反馈强。

原理

框架

GAN中的两个核心模块是生成器(Generator)和鉴别器(Discriminator)。这里用分类器(Classifier)代替了鉴别器。 

训练集中包含有标签样本xlxl和无标签样本xuxu。 
生成器从随机噪声生成伪样本IfIf。 
分类器接受样本II，对于KK类分类问题，输出K+1K+1维估计ll，再经过softmax函数得到概率pp：其前KK维对应原有KK个类，最后一维对应“伪样本”类。 
pp的最大值位置对应为估计标签yy。

softmax(xi)=exp(xi)∑jexp(xj)softmax(xi)=exp⁡(xi)∑jexp⁡(xj)

三种误差

整个系统涉及三种误差。

对于训练集中的有标签样本，考察估计的标签是否正确。即，计算分类为相应的概率： 

Llabel=−E[lnp(y|x)]Llabel=−E[ln⁡p(y|x)]

对于训练集中的无标签样本，考察是否估计为“真”。即，计算不估计为K+1K+1类的概率： 

Lunlabel=−E[ln(1−p(K+1|x))]Lunlabel=−E[ln⁡(1−p(K+1|x))]

对于生成器产生的伪样本，考察是否估计为“伪”。即，计算估计为K+1K+1类的概率： 

Lfake=−E[lnp(K+1|x)]Lfake=−E[ln⁡p(K+1|x)]

推导

考虑softmax函数的一个特性： 

softmax(xi−c)=exp(xi−c)∑jexp(xj−c)=exp(xi)/exp(c)∑jexp(xj)/exp(c)=softmax(xi)softmax(xi−c)=exp⁡(xi−c)∑jexp⁡(xj−c)=exp⁡(xi)/exp(c)∑jexp⁡(xj)/exp⁡(c)=softmax(xi)

即，如果输入各维减去同一个数，softmax结果不变。 
于是，可以令 l→l−lK+1l→l−lK+1 ，有 lK+1=0lK+1=0 ， p=softmax(l)p=softmax(l) 保持不变。

期望号略去不写，利用explK+1=1，exp⁡lK+1=1，后两种代价变为： 

Lunlabel=−ln[1−p(K+1|x)]=−ln[∑Kj=1explj∑Kj=1explj+explK+1]=−ln[∑j=1Kexplj]+ln[1+∑j=1Kexplj]Lunlabel=−ln⁡[1−p(K+1|x)]=−ln⁡[∑j=1Kexp⁡lj∑j=1Kexp⁡lj+exp⁡lK+1]=−ln⁡[∑j=1Kexp⁡lj]+ln⁡[1+∑j=1Kexp⁡lj]

Lfake=−ln[p(K+1|x)]=ln[1+∑j=1Kexplj]Lfake=−ln⁡[p(K+1|x)]=ln⁡[1+∑j=1Kexp⁡lj]

上述推导可以让我们省去lK+1lK+1，让分类器仍然输出K维的估计ll。

对于第一个代价，由于分类器输入必定来自前K类，所以可以直接使用ll的前K维： 

Llabel=−ln[p(y|x,y<K+1)]=−ln[exply∑Kj=1explj]=−ly+ln[∑j=1Kexplj]Llabel=−ln⁡[p(y|x,y<K+1)]=−ln⁡[exp⁡ly∑j=1Kexp⁡lj]=−ly+ln⁡[∑j=1Kexp⁡lj]

引入两个函数，使得书写更为简洁：

LSE(x)=ln[∑j=1expxj]LSE(x)=ln⁡[∑j=1exp⁡xj]

softplus(x)=ln(1+expx)softplus(x)=ln⁡(1+exp⁡x)

三个误差： 

Llabel=−ly+LSE(l)Llabel=−ly+LSE(l)

Lunlabel=−LSE(l)+softplus(LSE(l))Lunlabel=−LSE(l)+softplus(LSE(l))

Lfake=softplus(LSE(l))Lfake=softplus(LSE(l))

优化目标

对于分类器来说，希望上述误差尽量小。引入权重ww，得到分类器优化目标： 

w w，得到 分类器优化目标： 

LD=Llabel+w2(Lunlabe2(Lunlabel+Lfake)LD=Llabel+w2(Lunlabel+Lfake)

对于生成器来说，希望其输出的伪样本能够骗过分类器。生成器优化目标与分类器的第三项相反： 

L l abel