剑指Offer题目9：斐波那契数列（Java）

面试题9：你们都知道斐波那契数列，如今要求输入一个整数n，请你输出斐波那契数列的第n项（从0开始，第0项为0）。n<=39

Basic ：斐波那契数列定义

当 0 < n <= 1 时，f(n) = n;
当 n > 1 时，f(n) = f(n-1) + f(n-2)
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解题思路

1、递归写法（低效，慢）

递归分析，以下图所示：

这棵树中有不少结点是重复的，并且重复的结点数会随着n的增大而急剧增长，这意味计算量会随着n的增大而急剧增大。

用递归方法计算的时间复杂度是以n的指数的方式递增的。

2、for 循环写法

使用中间变量，在每次循环以后都将中间计算结果保存起来，用于下一次循环，时间复杂度减小到O(n)。

代码实现

1、递归写法（低效，慢）

public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
        if(n <= 1) {
            return n;
        }
        return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);
    }
}
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2、for 循环写法

public class Solution {
    public int Fibonacci(int n) {
        if(n <= 1) {
            return n;
        }
        int fibNMinus1 = 1;
        int fibNMinus2 = 0;
        int fibN = 0;
        for(int i=2; i<=n; i++){
            fibN = fibNMinus1 + fibNMinus2;
            fibNMinus2 = fibNMinus1;
            fibNMinus1 = fibN;
        }
        return fibN;
    }
}
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总结

递归实现起来简洁，但一般效率比for循环要低不少。

扩展：青蛙跳台阶

题目：一只青蛙一次能够跳上1级台阶，也能够跳上2级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法（前后次序不一样算不一样的结果）。

思路分析

前提只有 一次 1阶或者2阶的跳法。

a.若是两种跳法，1阶或者2阶，那么假定第一次跳的是一阶，那么剩下的是n-1个台阶，跳法是f(n-1);

b.假定第一次跳的是2阶，那么剩下的是n-2个台阶，跳法是f(n-2)

c.由a和b 两种假设能够得出总跳法为: f(n) = f(n-1) + f(n-2) 

d.Base case：只有一阶的时候 f(1) = 1 ,只有两阶的时候能够有 f(2) = 2
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public class Solution {
    public int JumpFloor(int target) {
        if(target <= 0) {
            return -1;
        }
        if(target <= 2){
            return target;
        }
        return JumpFloor(target - 1) + JumpFloor(target - 2);
    }
}
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题目：一只青蛙一次能够跳上1级台阶，也能够跳上2级……它也能够跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

数学概括法，各类计算，略过。

题目：咱们能够用2×1（图2.13的左边）的小矩形横着或者竖着去覆盖更大的矩形。请问用8个2×1的小矩形无重叠地覆盖一个2×8的大矩形（图2.13的右边），总共有多少种方法？

思路分析

首先把 2x8 的覆盖方法总数记为 f(8)。

用第一个 1x2 小矩形去覆盖大矩形的最左边时有两个情形，竖着放或者横着放。

竖着放：右边还剩下 2x7 的区域，这种情形下的覆盖方法记为 f(7)。

横着放：1x2 小矩形无论是横着放在左上角仍是左下角，另一个小矩形必须跟在该小矩形的下边或上边贴合，即不管如何只有
一种覆盖方法。而此时右边还剩下 2x6 的区域，这种情形下的覆盖方法记为 f(6)。

2x8 的覆盖方法就由这两种情形构成，所以，他们之间存在如下关系：

f(8) = f(7) + f(6)

类推：f(n) = f(n-1) + f(n-2) 即斐波那契数列。
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代码实现

public class Solution {
    public int RectCover(int target) {
        if(target<=2) {
            return target;
        }
        return RectCover(target - 1) + RectCover(target - 2);
    }
}
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