误码率仿真,蒙特卡罗方法,置信度

本文将介绍利用蒙特卡罗方法对误码率进行仿真的基本原理和基本原则。

1. 简介

    误码率是通讯系统性能评价的一个重要指标，在给定信道、编译码方式下，误码率是一个固定取值。少部分状况下，能够经过理论推导获得理论的误码率，可是在大多数状况下，理论误码率没法推得，这时每每考虑采用蒙特卡罗方法对误码率进行仿真。（误比特率、误码率同理）

    蒙特卡罗方法是一种经过随机采样得到数值解的一类计算方法。误码率，即给定条件下传输的错误几率，能够近似计算为错误码数和总码数之间的比值，所以很容易经过蒙特卡罗方法求解数值解。其基本原理见下节。

2. 基本原理

    参见维基百科，蒙特卡罗方法的基本步骤包括

1. 定义给定域上的全部可能的输入
2. 按照输入的几率分布随机生成给定域上的输入取值
3. 按照指定的计算方法对输入值进行处理
4. 计算结果

    那么对应通讯系统的误码率仿真而言，具体步骤为

1. 随机产生（知足要求的）明文
2. 利用给定算法进行加密、调制
3. 随机产生（知足要求的）信道噪声
4. 计算接收端接收信号，利用给定算法解调、译码判决
5. 计算误码/帧/比特

    至少对于通讯系统误码率仿真而言，这一过程是极其简单且容易理解的，能够简单的认为这是真实通讯系统的数学等效仿真过程。

3. 精度

    一个基本的、重要的问题是，仿真结果到底有多可靠？显然在给定条件下，理论误码率是一个常数，可是每次的仿真结果却不尽相同。假设理论误码率为，蒙特卡罗方法的估计值为，那么咱们通常关注的是在范围内的几率有多大。在回答这个问题以前，首先分析的几率分布。有

其中是错误码字数，是总码字数。此处不考虑纠错编码，认为每一个码字错误与否和其余码字是独立的。那么对于单个码字来讲，服从伯努利分布，出现错误的几率为 。则，且有

    当 足够大时，二项分布近似为高斯分布，所以 近似服从均值为 ，方差为的高斯分布。此时，能够回答如下几个问题

• 当给定时，仿真获得误码率的可靠程度
• 指定可靠性要求，计算取值
• 若足够大，的取值为多少，才能使可靠性知足要求

    这里先给可靠程度/可靠性作一个定义，即依几率落在区间上，这个几率被称为置信度，区间为置信区间。一个来自百度百科的简单的介绍为

“在统计学中，一个几率样本的置信区间（Confidence interval）是对这个样本的某个整体参数的区间估计。置信区间展示的是这个参数的真实值有必定几率落在测量结果的周围的程度。置信区间给出的是被测量参数的测量值的可信程度，即前面所要求的“必定几率”。这个几率被称为置信水平。“ ——百度百科

   

    据此可推得

    其中是正态分布的累积几率密度。当给定时，给定置信度，能够查表推得精度，给定 ，能够计算置信度 。 同理，另外两个问题也能够获得解决。

4. 举例

    当固定时，误码率仿真结果和置信区间（置信度为95%）

    其中取值为10000000，式中利用估计。能够看出在BER很小的时候，区间显然过大了。通常来看，咱们可能会有两个要求

• 为了计算在给定BER下的编码增益，须要使得在给定BER下，置信区间知足要求。
• 知足相对精度要求下的取值。

    第一个问题即求，若要使得误码率下，精度达到，那么

    计算得，，此时仿真结果为

    第二个问题，若要求，此时有

    此处假设足够大，利用这种方法能够下降仿真时间（因为K知足要求后就跳出了循环）。

5. 参考

    Monte Carlo method

    Confidence interval