最短路径之迪杰斯特拉（Dijkstra)算法

对于网图来讲，最短路径，是指两顶点之间通过的边上权值之和最少的路径，而且咱们称路径上的第一个顶点为源点，最后一个顶点为终点。最短路径的算法主要有迪杰斯特拉（Dijkstra)算法和弗洛伊德（Floyd)算法。本文先来说第一种，从某个源点到其他各顶点的最短路径问题。

这是一个按路径长度递增的次序产生最短路径的算法，它的大体思路是这样的。

初始时，S中仅含有源。设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只通过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每一个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具备最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist做必要的修改。一旦S包含了全部V中顶点，dist就记录了从源到全部其它顶点之间的最短路径长度.

好比说要求图7-7-3中顶点v0到v1的最短路径，显然就是1。因为顶点v1还与v2,v3,v4连线，因此此时咱们同时求得了v0->v1->v2 = 1+3 = 4, v0->v1->v3 = 1 +7 = 8, v0->v1->v4 = 1+5 = 6。

如今咱们能够知道v0到v2的最短距离为4而不是v0->v2 直接连线的5，如图7-7-4所示。因为顶点v2还与v4,v5连线，因此同时咱们求得了v0->v2->v4其实就是v0->v1->v2->v4 = 4+1=5，v0->v2->v5 = 4+7 = 11，这里v0->v2咱们用的是刚才计算出来的较小的4。此时咱们也发现v0->v1->v2->v4 = 5要比v0->v1->v4 = 6还要小，因此v0到v4的最短距离目前是5，如图7-7-5所示。

当咱们要求v0到v3的最短路径时，通向v3的三条边，除了v6没有研究过外，v0->v1->v3 = 8, 而v0->v4->v3 = 5 +2 = 7，所以v0到v3的最短路径为7,如图7-7-6所示。

如上所示，这个算法并非一会儿就求出来v0到v8的最短路径，而是一步步求出它们之间顶点的最短距离，过程当中都是基于已经求出的最短路径的基础上，求得更远顶点的最短路径，最终获得想要的结果。

#include <iostream>
using namespace std; const int maxnum = 100; const int maxint = 999999; // 各数组都从下标1开始
int dist[maxnum];     // 表示当前点到源点的最短路径长度
int prev[maxnum];     // 记录当前点的前一个结点
int c[maxnum][maxnum];   // 记录图的两点间路径长度
int n, line;             // 图的结点数和路径数 // n -- n nodes // v -- the source node // dist[] -- the distance from the ith node to the source node // prev[] -- the previous node of the ith node // c[][] -- every two nodes' distance
void Dijkstra(int n, int v, int *dist, int *prev, int c[maxnum][maxnum]) { bool s[maxnum];    // 判断是否已存入该点到S集合中
    for(int i=1; i<=n; ++i) { dist[i] = c[v][i]; s[i] = 0;     // 初始都未用过该点
        if(dist[i] == maxint) prev[i] = 0; else prev[i] = v; } dist[v] = 0; s[v] = 1; // 依次将未放入S集合的结点中，取dist[]最小值的结点，放入结合S中 // 一旦S包含了全部V中顶点，dist就记录了从源点到全部其余顶点之间的最短路径长度 // 注意是从第二个节点开始，第一个为源点
    for(int i=2; i<=n; ++i) { int tmp = maxint; int u = v; // 找出当前未使用的点j的dist[j]最小值
        for(int j=1; j<=n; ++j) if((!s[j]) && dist[j]<tmp) { u = j;              // u保存当前邻接点中距离最小的点的号码
                tmp = dist[j]; } s[u] = 1;    // 表示u点已存入S集合中 // 更新dist
        for(int j=1; j<=n; ++j) if((!s[j]) && c[u][j]<maxint) { int newdist = dist[u] + c[u][j]; if(newdist < dist[j]) { dist[j] = newdist; prev[j] = u; } } } } // 查找从源点v到终点u的路径，并输出
void searchPath(int *prev,int v, int u) { int que[maxnum]; int tot = 1; que[tot] = u; tot++; int tmp = prev[u]; while(tmp != v) { que[tot] = tmp; tot++; tmp = prev[tmp]; } que[tot] = v; for(int i=tot; i>=1; --i) if(i != 1) cout << que[i] << " -> "; else cout << que[i] << endl; } int main() { freopen("input.txt", "r", stdin); // 各数组都从下标1开始 // 输入结点数
    cin >> n; // 输入路径数
    cin >> line; int p, q, len;          // 输入p, q两点及其路径长度 // 初始化c[][]为maxint
    for(int i=1; i<=n; ++i) for(int j=1; j<=n; ++j) c[i][j] = maxint; for(int i=1; i<=line; ++i) { cin >> p >> q >> len; if(len < c[p][q])       // 有重边
 { c[p][q] = len;      // p指向q
            c[q][p] = len;      // q指向p，这样表示无向图
 } } for(int i=1; i<=n; ++i) dist[i] = maxint; for(int i=1; i<=n; ++i) { for(int j=1; j<=n; ++j) printf("%8d", c[i][j]); printf("\n"); } Dijkstra(n, 1, dist, prev, c); // 最短路径长度
    cout << "源点到最后一个顶点的最短路径长度: " << dist[n] << endl; // 路径
    cout << "源点到最后一个顶点的路径为: "; searchPath(prev, 1, n); }

输入数据:
5
7
1 2 10
1 4 30
1 5 100
2 3 50
3 5 10
4 3 20
4 5 60
输出数据:
999999 10 999999 30 100
10 999999 50 999999 999999
999999 50 999999 20 10
30 999999 20 999999 60
100 999999 10 60 999999
源点到最后一个顶点的最短路径长度: 60
源点到最后一个顶点的路径为: 1 -> 4 -> 3 -> 5

参考：http://tech.ddvip.com/2013-06/1371580493197421.html

http://www.wutianqi.com/?p=1890