【算法】迭代法

简单迭代运算

**迭代（辗转法）**是一种不断用变量的旧值递推新值的过程

分类

• 精确迭代：杨辉三角、内在移动算法等
• 近似迭代：二分法和牛顿迭代法等

设计方法

1. 确定迭代模型
   根据问题描述，抽象出当前值和下一个值的迭代关系。这一迭代关系应该最终收敛于所期望的目标。迭代模型时解决迭代问题的关键。
2. 控制迭代过程
   迭代模型会包含期望的目标，根据这一目标控制迭代的次数，并最终结束算法。迭代过程的控制通常分为两种情况：一种是已知或可以计算出来迭代的次数，这时可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制。另一种是所需的迭代次数无法确定，需要分析出迭代过程的结束条件，还要考虑有可能得不到目标解（迭代不收敛）的情况，避免出现迭代过程的死循环。

例题

1

【例题1】输出杨辉三角形
问题分析
利用一个n*n的矩阵存储信息。如下

有 $a_{i,j} = a_{i-1,j-1} + a_{i-1,j}$ai,j​=ai−1,j−1​+ai−1,j​
计算模型
$\left\{ \begin{array}{lr} a_{i,i} = 1& & \\ a_{i,0}=1\\ a_{i,j} = a_{i-1,j-1}+a_{i-1,j}&i>1且 1\leq j<i & \end{array} \right.$⎩⎨⎧​ai,i​=1ai,0​=1ai,j​=ai−1,j−1​+ai−1,j​​i>1且1≤j<i​​
算法设计与描述
输入： $n$n
输出：杨辉三角
step1: 输入 $n$n，定义一个n $\times$×n的存储矩阵 $a$a
step2: 令 $a_{0,0} = 1,a_{1,0} = 1,a_{1,1} = 1$a0,0​=1,a1,0​=1,a1,1​=1, 定义 $i = 2$i=2
step3: 令 $a_{i,0} = 1,a_{i,i} = 1$ai,0​=1,ai,i​=1，定义 $j = 1$j=1
step4: 令 $a_{i,j} = a_{i-1,j-1}+a_{i-1,j},j = j + 1$ai,j​=ai−1,j−1​+ai−1,j​,j=j+1,若 $j<i$j<i,转step4
step5: 令 $i = i + 1$i=i+1，若 $i < n$i<n 转step3
step6: 打印输出矩阵 $a$a，算法结束
算法分析

1. 输入 $n$n，规模为 $n$n
2. 核心操作： $a_{i,j} = a_{i-1,j-1}+a_{i-1,j}$ai,j​=ai−1,j−1​+ai−1,j​
3. 得出 $T(n) = \sum_{i=2}^{n-1}(2 + \sum_{j=1}^{i-1}1)+3 = \Theta(n^2)$T(n)=∑i=2n−1​(2+∑j=1i−1​1)+3=Θ(n2)

2

【例题2】内存移动问题：数组中有n个数据，要将它们顺序循环向后移k位，即前面的元素向后(右)移k位，后面的元素则循环向前移k位，例：0、1、2、3、4、5循环移3位后为： 3、4、5、0、1、2。考虑到n会很大，不允许用2*n及以上个空间来完成此题。
问题分析
设原数列为 $a[n]$a[n]，移动k次。

1. 建立一个数列 $b[n]$b[n],令 $b[(k+i)\;mod\;n] = a[i] , i \in [0,n-1]$b[(k+i)modn]=a[i],i∈[0,n−1]
   此时，时间复杂度为 $O(n)$O(n),空间复杂度为 $O(2n)$O(2n),不符合题目要求。
2. 建立临时变量 $tmp$tmp，令 $tmp = a[n-1]$tmp=a[n−1]，然后从 $a[n-2]$a[n−2]开始所有位右移一位，最后，令 $a[0]=tmp$a[0]=tmp,实现右移一位，循环实现右移k位。
   此时，时间复杂度为 $O(k\times n)$O(k×n)，空间复杂度为 $O(n+1) = O(n)$O(n+1)=O(n)
3. 如果按照2的方法将元素直接移动至指定位置，那么时间复杂度为 $O(n)$O(n)，空间复杂度为 $O(n)$O(n)。
   如：n = 6，k = 3的情况，将 $a[0]\to a[3]$a[0]→a[3], $a[3]\to a[0]$a[3]→a[0]; $a[1]\to a[4]$a[1]→a[4], $a[4]\to a[1]$a[4]→a[1], $a[2]\to a[5]$a[2]→a[5], $a[5]\to a[2]$a[5]→a[2]，共需要移动3轮，每轮移动元素个数为2。
   不难发现，此时
   $移动轮数 = gcd(n,k)$移动轮数=gcd(n,k)
   下面给出证明：
   令 $gcb(n,k) = q$gcb(n,k)=q，每轮最少移动元素个数为 $r$r
   从而有： $n = q \times n_1 , k = q \times n_2\quad n_1,n_2\in Z$n=q×n1​,k=q×n2​n1​,n2​∈Z 且 $gcb(n_1,n_2) = 1$gcb(n1​,n2​)=1
   由每轮第一次移动的元素要和最后一次移动到的元素相同可得： $(k\times r)\; mod\; n = 0$(k×r)modn=0
   从而推出： $(n_2\times r)\; mod\; n_1 = 0$(n2​×r)modn1​=0
   由 $gcb(n_1,n_2) = 1$gcb(n1​,n2​)=1可得： $gcb(n_1,r) = n_1$gcb(n1​,r)=n1​
   $r$r 为每轮最小移动次数，取 $n_1$n1​，此时移动轮数为 $n/r = q$n/r=q

下文主要讲述第三种方法
计算模型

1. 求出最大公约数，由欧几里得
   $\left\{ \begin{array}{lr} a,b = b,a & 若b>a& 初始化\\ r = a\; mod\; b & & 进入循环 \\ gcd(a,b) = gcb(b,r) &r \not= 0&判断\\ gcd(a,b) = b &r = 0& 结束 \end{array} \right.$⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​a,b=b,ar=amodbgcd(a,b)=gcb(b,r)gcd(a,b)=b​若b>ar​=0r=0​初始化进入循环判断结束​
2. 令 $q = gcb(a,b)$q=gcb(a,b) [上一步所求出来的], 移动次数： $i = n/q$i=n/q
3. 计算元素移动位置： $x_i = (x_m + i\times k)\; mod\; n\quad 0\leq i<n/q \quad 0 \leq x_m < q$xi​=(xm​+i×k)modn0≤i<n/q0≤xm​<q
   说明：初始元素为 $x_m$xm​，第 $i$i次移动实现 $a[x_{i-1}]\to a[x_i]$a[xi−1​]→a[xi​] ,共移动 $q$q轮

算法设计与描述

算法分析

注：可以进行改进，减少内层循环次数。

【例题3】求n!(n<=100)
问题分析
int整数表示的范围为：-2147483648 —— -2147483647，显然不能直接处理规模为100的阶乘计算。所以需要借助一个int型数组a，设定每个元素存储6位整数，由式子 $log(n!) = \Theta(n\log n)$log(n!)=Θ(nlogn)可得数组中约需要34个元素。
计算方法：模拟竖式乘法
计算模型
设存储大数结果的数组为 $a[m]$a[m]， $m = n (\log n)/6$m=n(logn)/6
初始化 $a[0] =1，a[i] = 0 (i\not=0)$a[0]=1，a[i]= $a[x_{i-1}]\to a[x_i]$a[xi−1​]→a[xi​] ,共移动 $q$q轮

算法设计与描述

算法分析

注：可以进行改进，减少内层循环次数。

【例题3】求n!(n<=100)
问题分析
int整数表示的范围为：-2147483648 —— -2147483647，显然不能直接处理规模为100的阶乘计算。所以需要借助一个int型数组a，设定每个元素存储6位整数，由式子 $log(n!) = \Theta(n\log n)$log(n!)=Θ(nlogn)可得数组中约需要34个元素。
计算方法：模拟竖式乘法
计算模型
设存储大数结果的数组为 $a[m]$a[m]， $m = n (\log n)/6$m=n(logn)/6
初始化 $a[0] =1，a[i] = 0 (i\not=0)$a[0]=1，a[i]=0(i​=0)
i ​] ,共移动 $q$q轮

算法设计与描述

算法分析

注：可以进行改进，减少内层循环次数。

【例题3】求n!(n<=100)
问题分析
int整数表示的范围为：-2147483648 —— -2147483647，显然不能直接处理规模为100的阶乘计算。所以需要借助一个int型数组a，设定每个元素存储6位整数，由式子 $log(n!) = \Theta(n\log n)$log(n!)=Θ(nlogn)可得数组中约需要34个元素。
计算方法：模拟竖式乘法
计算模型
设存储大数结果的数组为 $a[m]$a[m]， $m = n (\log n)/6$m=n(logn)/6
初始化 $a[0] =1，a[i] = 0 (i\not=0)$a[0]=1，a[i]=0(i​=0)
$a[m]$a[m]， $m = n (\log n)/6$m