最短路径算法
单源最短路径问题
问题描述：给你一个顶点作源点，你想要知道，如何从源点到达其余全部点的最短路径。 php
OK，这个问题看起来没什么用。咱们通常想知道的是A点到B点的最短路径，这个单源最短路径问题告诉咱们A点到全部点的最短路径，会不会计算过多了呢？ html
有趣的是，解决A点到B点的最短路径算法不会比单源最短路径问题简单，咱们所知的求A点到B点的最短路径算法就是求A点到任何点的最短路径。咱们除了这样作，好像也没什么好办法了。 java
Dijkstra算法
基本原理： 算法
每次新扩展一个距离最短的点，更新与其相邻的点的距离。当全部边权都为正时，因为不会存在一个距离更短的没扩展过的点，因此这个点的距离永远不会再被改变，于是保证了算法的正确性。不过根据这个原理，用Dijkstra求最短路的图不能有负权边，由于扩展到负权边的时候会产生更短的距离，有可能就破坏了已经更新的点距离不会改变的性质。 数组
适用条件与限制： ide
- 有向图和无向图均可以使用本算法，无向图中的每条边能够当作相反的两条边。
- 用来求最短路的图中不能存在负权边。(能够利用拓扑排序检测)
算法流程： 优化
在如下说明中，s为源，w[u,v]为点u和v之间的边的长度，结果保存在dist[] 动画
- 初始化：源的距离dist[s]设为0，其余的点距离设为正无穷大，同时把全部的点的状态设为没有扩展过。
- 循环n-1次：
- 在没有扩展过的点中取距离最小的点u，并将其状态设为已扩展。
- 对于每一个与u相邻（有向图只kao虑出度）的点v，执行Relax(u,v)，也就是说，若是dist[u]+w[u,v]<dist[v]，那么把dist[v]更新成更短的距离dist[u]+w[u,v]。此时到点v的最短路径上，前一个节点即为u。
- 结束。此时对于任意的u，dist[u]就是s到u的距离。
执行动画过程以下图: this
实例： spa
用Dijkstra算法找出以A为起点的单源最短路径步骤以下
代码：
咱们在OJ上完成这个算法：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1874
import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.StreamTokenizer;
public class Main
{
static int[][] v = new int[201][201];
static int[] dist = new int[201];
static boolean[] visit = new boolean[201];
public static void main(String[] args) throws IOException
{
StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(
new InputStreamReader(System.in)));
int n, m, begin, end;
while (in.nextToken() != StreamTokenizer.TT_EOF)
{
n = (int) in.nval;
in.nextToken();
m = (int) in.nval;
init(n);
for (int i = 0; i < m; i++)
{
in.nextToken();
int a = (int) in.nval;
in.nextToken();
int b = (int) in.nval;
in.nextToken();
int d = (int) in.nval;
if (d < v[a][b])
{
v[a][b] = d;
v[b][a] = d;
}
}
in.nextToken();
begin = (int) in.nval;
in.nextToken();
end = (int) in.nval;
if (begin == end)
{
System.out.println("0");
continue;
}
dist[begin] = 0;
visit[begin] = true;
dijkstra(begin, n);
if (!visit[end])
{
System.out.println("-1");
}
else
{
System.out.println(dist[end]);
}
}
}
public static void init(int n)
{
for (int i = 0; i < n; i++)
{
visit[i] = false;
for (int j = 0; j < n; j++)
{
v[i][j] = 10000;
}
}
}
public static void dijkstra(int s, int n)
{
for (int i = 0; i < n; i++)
{
dist[i] = v[s][i];
}
for (int i = 0; i < n - 1; i++)
{
int min = 10000;
int index = 0;
for (int j = 0; j < n; j++)
{
if (!visit[j] && dist[j] < min)
{
min = dist[j];
index = j;
}
}
visit[index] = true;
for (int j = 0; j < n; j++)
{
if (!visit[j] && dist[index] + v[index][j] < dist[j])
{
dist[j] = dist[index] + v[index][j];
}
}
}
}
} 能够看出时间复杂度为
O（v^2）。有没有更快的方法呢？
因为每次都要找到未访问的点中距离最小的点，咱们使用优先队列来解决这个问题，关于优先队列请查看这篇Blog。如下是利用优先队列实现的算法
public static void dijkstrapq(int s, int n)
{
class Item implements Comparable<Item>
{
public int idx;
public int weight;
public Item(int idx, int weight)
{
this.idx = idx;
this.weight = weight;
}
@Override
public int compareTo(Item item)
{
if (this.weight == item.weight)
{
return 0;
}
else if (this.weight < item.weight)
{
return -1;
}
else
{
return 1;
}
}
}
PriorityQueue<Item> pq = new PriorityQueue<Item>();
for (int i = 0; i < n; i++)
{
dist[i] = v[s][i];
if (i != s)
{
pq.offer(new Item(i, dist[i]));
}
}
Item itm = null;
while (!pq.isEmpty())
{
itm = pq.poll();
int index = itm.idx;
int weight = itm.weight;
if (weight == 10000)
{
break;
}
visit[index] = true;
for (int j = 0; j < n; j++)
{
if (!visit[j] && dist[index] + v[index][j] < dist[j])
{
dist[j] = dist[index] + v[index][j];
pq.offer(new Item(j, dist[j]));
}
}
}
} 若是是稠密图（边比点多），则直接扫描全部未收录顶点比较好，即第一种方法，每次O(V)，整体算法复杂度T=O(V^2+E)
若是是稀疏图(边比点少)，则使用优先队列（最小堆）比较好，即第二种方法，每次O(logV)，插入更新后的dist，O(logV)。整体算法复杂度T=O(VlogV+ElogE)
固然还有更加优秀的斐波那契堆，时间复杂度为 O(e+vlogv)
无权值（或者权值相等）的单源点最短路径问题，Dijkstra算法退化成BFS广度优先搜索。
那么，为何BFS会比Dijkstra在这类问题上表现得更加好呢？
1. BFS使用FIFO的队列来代替Dijkstra中的优先队列(或者heap之类的)。
2. BFS不须要在每次选取最小结点时判断其余结点是否有更优的路径。
BFS的时间复杂度为O(v+e)
Bellman-Ford算法
Dijkstra很优秀，可是使用Dijkstra有一个最大的限制，就是不能有负权边。而Bellman-Ford适用于权值能够为负、无权值为负的回路的图。这比Dijkstra算法的使用范围要广。其基本思想为：首先假设源点到全部点的距离为无穷大，而后从任一顶点u出发，遍历其它全部顶点vi，计算从源点到其它顶点vi的距离与从vi到u的距离的和，若是比原来距离小，则更新，遍历完全部的顶点为止，便可求得源点到全部顶点的最短距离。
Bellman－Ford算法能够大体分为三个部分
- 第一，初始化全部点。每个点保存一个值，表示从原点到达这个点的距离，将原点的值设为0，其它的点的值设为无穷大（表示不可达）。
- 第二，进行循环，循环下标为从1到n－1（n等于图中点的个数）。在循环内部，遍历全部的边，进行松弛计算。
- 第三，遍历途中全部的边（edge（u，v）），判断是否存在这样状况：d（v） > d (u) + w(u,v)。则返回false，表示途中存在从源点可达的权为负的回路。
对有向带权图G = (V, E)，从顶点s起始，利用Bellman-Ford算法求解各顶点最短距离，算法描述以下：
for(int k=1;k<=n-1;k++)//遍历点的次数
{
for(int i=1;i<=m;i++)//遍历边的次数
{
if(dis[v[i]]>dis[u[i]]+w[i])//若是从u到v的距离可以经过w这条边压缩路径 就要进行松弛操做
{
dis[v[i]]=dis[u[i]]+w[i];
}
}
}
很明显Bellman-Ford算法复杂度为O(VE)，比Dijkstra要慢，可是解决了负权值问题。
图解：
固然不用老是松弛E次，可能远小于E次时，全部边都不能松弛了。因此加个check来优化，若是每一个边都没松弛，就break。
for(int k=1;k<=n-1;k++)
{
check=0;//用check检查是否进行下一轮次的操做
for(int i=1;i<=m;i++)
{
if(dis[v[i]]>dis[u[i]]+w[i])
{
dis[v[i]]=dis[u[i]]+w[i];
check=1;
}
}
if(check==0)break;
}
咱们一直说的是有向图的松弛，若是是无向图则要松弛两次（由于A到B有边，那么B到A也有边）
for(int k=1;k<=n-1;k++)
{
check=0;
for(int i=1;i<=m;i++)
{
if(dis[v[i]]>dis[u[i]]+w[i])
{
dis[v[i]]=dis[u[i]]+w[i];
check=1;
}
if(dis[u[i]]>dis[v[i]]+w[i])
{
dis[u[i]]=dis[v[i]]+w[i];
check=1;
}
}
if(check==0)break;
}
代码：
咱们在OJ上验证这个算法：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2544
import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.StreamTokenizer;
public class Main
{
static int[] begin = new int[121212];
static int[] end = new int[121212];
static int[] wight = new int[121212];
static int[] dist = new int[121212];
public static void main(String[] args) throws IOException
{
StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(
new InputStreamReader(System.in)));
int n, m;
while (in.nextToken() != StreamTokenizer.TT_EOF)
{
n = (int) in.nval;
in.nextToken();
m = (int) in.nval;
init(n);
if (n == 0 || m == 0)
{
break;
}
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
in.nextToken();
int a = (int) in.nval;
in.nextToken();
int b = (int) in.nval;
in.nextToken();
int d = (int) in.nval;
begin[i] = a;
end[i] = b;
wight[i] = d;
if (a == 1)
{
dist[b] = d;
}
if (b == 1)
{
dist[a] = d;
}
}
bellmanFord(n, m);
System.out.println(dist[n]);
}
}
private static boolean bellmanFord(int n, int m)
{
dist[1] = 0;
int check;
for (int i = 1; i <= n - 1; i++)
{
check = 0;
for (int j = 1; j <= m; j++)
{
int b = begin[j];
int e = end[j];
if (dist[b] + wight[j] < dist[e])
{
check = 1;
dist[e] = wight[j] + dist[b];
}
if (dist[e] + wight[j] < dist[b])
{
check = 1;
dist[b] = wight[j] + dist[e];
}
}
if (check == 0)
{
break;
}
}
return true;
}
public static void init(int n)
{
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
dist[i] = 9999999;
}
}
} OJ上的这个题目没有负值环，Bellman-Ford是能够检查负值环的，就如上面所说，最后再遍历一遍边，若是还能松弛，说明有负值环。
for (int j = 1; j <= m; j++)
{
int b = begin[j];
int e = end[j];
if (dist[b] + wight[j] < dist[e])
{
return false;
}
if (dist[e] + wight[j] < dist[b])
{
return false;
}
}
SPFA算法
SPFA算法维护一个队列，里面存放全部须要进行迭代的点。初始时队列中只有一个点S。用一个布尔数组记录每一个点是否处在队列中。
SPFA算法能够分为大体3步
- 初始化阶段除了和Bellman-ford算法相同的地方外，还要加上将源点S入队，而且在判断点是否在队列中的数组上作标记（inside[1] = 1）
- 进行迭代，每次迭代，取出队头的点v，遍历全部与v相连的边，进行松弛操做，若是可以松弛而且该点不在队列中，就将它放入队尾。这样一直迭代下去直到队列变空。
- 若一个点入队次数超过n，则有负权环。
SPFA 在形式上和宽度优先搜索很是相似，不一样的是宽度优先搜索中一个点出了队列就不可能从新进入队列，可是SPFA中一个点可能在出队列以后再次被放入队列，也就是一个点改进过其它的点以后，过了一段时间可能自己被改进，因而再次用来改进其它的点，这样反复迭代下去。
代码：
咱们在OJ上验证这个算法：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2544
import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.StreamTokenizer;
import java.util.LinkedList;
import java.util.Queue;
public class Main
{
static int[][] v = new int[101][101];
static int[] dist = new int[101];
static int[] inside = new int[101];
static Queue<Integer> queue;
public static void main(String[] args) throws IOException
{
StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(
new InputStreamReader(System.in)));
int n, m;
while (in.nextToken() != StreamTokenizer.TT_EOF)
{
n = (int) in.nval;
in.nextToken();
m = (int) in.nval;
init(n);
if (n == 0 || m == 0)
{
break;
}
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
in.nextToken();
int a = (int) in.nval;
in.nextToken();
int b = (int) in.nval;
in.nextToken();
int d = (int) in.nval;
v[a][b] = d;
v[b][a] = d;
}
SPFA(n);
System.out.println(dist[n]);
}
}
private static void SPFA(int n)
{
queue.add(1);
inside[1] = 1;
dist[1] = 0;
while (!queue.isEmpty())
{
int top = queue.poll();
inside[top] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
if (v[top][i] < 9999999)
{
if (dist[top] + v[top][i] < dist[i])
{
dist[i] = dist[top] + v[top][i];
if (inside[i] == 0)
{
queue.add(i);
inside[i] = 1;
}
}
}
}
}
}
public static void init(int n)
{
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
dist[i] = 9999999;
inside[i] = 0;
for (int j = 1; j <= n; j++)
{
v[i][j] = 9999999;
}
}
queue = new LinkedList<Integer>();
}
} 因为上述代码使用邻接矩阵来存储，因此在遍历与某点相连的边时，复杂度较高。若是将其改为邻接表来实现会更加明显。
在平均状况下，SPFA算法的指望时间复杂度为O(E)。可是这一说法有争议，在这里就不讨论了，总之SPFA是一种Bellman-Ford算法的优化。
多源最短路径问题
咱们已经介绍了3种解决单源最短路径问题的算法，那么多源最短路径问题该怎么解决呢？
很明显有一种方法就是，将单源最短路径问题使用N次，那么使用普通的Dijkstra算法的时间复杂度为T=O(V^3+V*E)，对于稀疏图的效果比较好。
而第二种方法则是要介绍的Floyd算法，它的时间复杂度为T=O(V^3)，对于稠密图来讲效果更好。
Floyd算法
对于最短路径算法来讲，其重点都是松弛。因为如今是多源最短路径问题，之前单源把dist[i]做为源点S到i的最短路径，如今源点不单一了，因此直接表示成e(i,j)表示i到j的最短路径。
咱们已经知道松弛的缘由是，有了第三个点为过渡点，使得距离变小了。
Floyd算法运用动态规划的思想经过考虑最佳子路径来获得最佳路径
而Floyd算法的步骤就分为如下两步
- 初始化：从任意一条单边路径开始。全部两点之间的距离是边的权，或者无穷大，若是两点之间没有边相连。
- 松弛：对于每一对顶点 u 和 v，看看是否存在一个顶点 w 使得从 u 到 w 再到 v 比己知的路径更短。若是是更新它。
思想很是简单，简单来讲就是遍历全部的顶点，看看这个顶点是否能让任意两个顶点松弛。
核心代码：
for (int k = 1; k <= n; k++)
{
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 1; j <= n; j++)
{
if (v[i][k] + v[k][j] < v[i][j])
{
v[i][j] = v[i][k] + v[k][j];
}
}
}
}
代码：
咱们在OJ上验证这个算法：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2544
import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.StreamTokenizer;
public class Main
{
static int[][] v = new int[101][101];
public static void main(String[] args) throws IOException
{
StreamTokenizer in = new StreamTokenizer(new BufferedReader(
new InputStreamReader(System.in)));
int n, m;
while (in.nextToken() != StreamTokenizer.TT_EOF)
{
n = (int) in.nval;
in.nextToken();
m = (int) in.nval;
init(n);
if (n == 0 || m == 0)
{
break;
}
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
in.nextToken();
int a = (int) in.nval;
in.nextToken();
int b = (int) in.nval;
in.nextToken();
int d = (int) in.nval;
v[a][b] = d;
v[b][a] = d;
}
floyd(n);
System.out.println(v[1][n]);
}
}
private static void floyd(int n)
{
for (int k = 1; k <= n; k++)
{
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 1; j <= n; j++)
{
if (v[i][k] + v[k][j] < v[i][j])
{
v[i][j] = v[i][k] + v[k][j];
}
}
}
}
}
public static void init(int n)
{
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
for (int j = 1; j <= n; j++)
{
v[i][j] = 9999999;
}
}
}
} 算法时间复杂度很直观O(V^3)，由于要用邻接矩阵来存储图，空间复杂度O(V^2)。
另外须要注意的是：Floyd算法也不能解决带有“负权回路”
总结：
经过以上4种最短路径算法，咱们发现，最短路径算法大概分为3步
- 初始化
- 松弛
- 判断是否有负值环
其中Bellman-Ford（松弛之后若是还能松弛则有负值环）与SPFA（每一个元素的入队次数不能超过n）能检测负值环。
咱们简单的说一下4种算法的松弛过程：
- Dijkstra：由源点出发，松弛每条边。而后选出其中最小的边，将其做为中间点，松弛其余未访问的边，如此循环n-1次。
- Bellman-Ford：遍历全部边，查看两个端点可否经过这条边进行松弛。
- SPFA：用队列来优化Bellman-Ford，从队列中取出某个点，查看通过这个点可否使边松弛，若是可以松弛而且没有在队列中，将另外一个点加入队列中。
- Floyd：遍历全部的顶点，看看这个顶点是否能让任意两个顶点松弛。
时间复杂度：
Dijkstra：普通：O(V^2+E)，最小堆优化：O(VlogV+ElogE)，斐波那契堆优化：O(E+VlogV)
Bellman-Ford：O(VE)
SPFA：O(kE)，有争论，总之比Bellman-Ford更加快
Floyd：O(V^3)
Reference：
1. http://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/31/2615833.html
2. http://www.nocow.cn/index.php/Dijkstra%E7%AE%97%E6%B3%95
3. http://blog.csdn.net/collonn/article/details/18155655
4. http://blog.csdn.net/mengxiang000000/article/details/50266373
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