一些积性函数

　　若函数f，知足对于任意互质的两个数a，b，有f(ab)=f(a)f(b)。下面举例一些简单的积性函数：

　　

　　函数1：若f(x)表示x的因子个数，那么f是积性函数。

　　证实：若x，y互质，只须要证实对于任意x的不一样因子a，b，以及y的两个不一样因子c，d。知足ac≠bd。利用反证法证实：设存在这样的两对因子a，b，c，d。若ac为1，则得出四个因子均为1。所以咱们假设a恒不为1。而a与d互质，所以能够得出b/a=c/d。而因为b/a不为1，故b/a与c/d分别为x与y的因子，而考虑到gcd(b/a,c/d)=1，所以造成了悖论。故命题得证。