数据结构——树状数组详解

时间 2019-11-11

标签数据结构树状数组详解繁體版

原文原文链接

一.概念程序员

　树状数组(Binary Indexed Tree(B.I.T), Fenwick Tree)是一个查询和修改复杂度都为log(n)的数据结构。主要用于查询任意两位之间的全部元素之和，可是每次只能修改一个元素的值；通过简单修改能够在log(n)的复杂度下进行范围修改，可是这时只能查询其中一个元素的值(若是加入多个辅助数组则能够实现区间修改与区间查询)。算法

　　这种数据结构（算法）并无C++和Java的库支持，须要本身手动实现。在Competitive Programming的竞赛中被普遍的使用。树状数组和线段树很像，但能用树状数组解决的问题，基本上都能用线段树解决，而线段树能解决的树状数组不必定能解决。相比较而言，树状数组效率要高不少。——百度百科　

　　首先明确一点，树状数组的本质仍是数组。

二.问题的引入

　　先来看这样一道题目：

　　　　要想查看本题，请点这里（有一些区别，本质相同）数组

　　　若是直接用数组进行模拟，修改的时间复杂度是O（1），查询是O（n），m次查询操做的时间复杂度就是O（mn），时间复杂度太高。数据结构

　　　树状数组就能够轻松处理这类问题，它是一个查询和修改的复杂度都为log（n）的数据结构。函数

　　　来看一下树状数组的样子：

图片出自水印。

　　　　A表明原来的数组，C表明树状数组。为何树状数组要长成这样？优化

　　　明确一点：树状数组是对二进制的应用。spa

　　　咱们不妨把全部的数字都转换为二进制。来观察一下数字特征：code

　　　　举几个例子：blog

　　　用C来表明树状数组，用A来表明原数组：图片

　　　C（2） = A（1）+ A（2）对应二进制 C（0010） = A（0010） + A（0001）

　　　C（4） = A（4）+A（2）+A（3）对应二进制C（0100） = A（0100）+A（0010）+ A（0011）

　　　C（8） = A（8）+A（4）+A（6）+A（7）对应二进制C（1000） = A（1000）+A（0100）+A（0110）+A（0111）

　　　......

　　　不难发现，对于任意的C[i]写成二进制的形式，都等于原来的数组A[i]的值自己，加上把i转换成二进制后，把首位变成0，而且开始逐位向后把0变成1，相加。

　　　例如： 1000（二进制）向后逐位变化，即1000--> 0100-->0110>0111

　　　......

　　　构建出这样的树状数组后：

　　　查询A1到A8的和，只须要返回C8

　　　查询A1到A7，只需返回C7+C6+C4

　　　查询A1到A6，只须要返回C6+C4

　　　以此类推。

　　　这样便优化了询问的时间复杂度。

　　　那么说的这么好听，如何作到修改A的值时，顺便更新C的全部关于A的值呢？（例如，修改A[1]的时候更新C1,C2,C4,C8）

三.补码、lowbit函数

　　1.补码

　　　首先说一说补码。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　——百度百科。

　　　补码是计算机表示符号数的一种方式，概念内容太杂乱，对于咱们树状数组没有太大的用处，只须要了解两个事情：

　　　·正整数的补码和原码（原来的二进制的代码）相同。

　　　·负整数的补码将其正整数的原码全部为取反（0变1,1变0），以后加一。

　　　2.lowbit函数

　　　lowbit函数即是帮助咱们找到二进制表达式中最低位1所对应的值。

　　　好比，6的二进制是110，因此lowbit(6)=2。　

　　　lowbit的实现方式一共两种：我的推荐下面这种写法：　　

　　int lowbit(int x) 　　{ 　　 return x&(-x); 　　}

　　　　　&符号意思为按位与，把两个数的二进制一位一位比较，都为1，结果则为1，不然就是0。

　　　　这个函数什么意思？将一个数x的原码和补码按位与？返回的就是最后一位1？

　　　　的确是这样。

　　　　举个例子（example）：

　　　　　　6 = 0110（二进制）

　　　　　　它的补码为0010。按位与以后获得的确实就是最后一位1。

　　　　正是由于补码在取反后+1，才有了lowbit函数的产生。

　　　　您不妨打开计算器，切换到程序员模式，试上几组，或许会有新的领悟。

　　　　毕竟“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”。

　　　　......

　　3.lowbit查询与更新的应用:

　　　　首先先来运行一段代码:

　　#include<stdio.h> 　　int main() 　　{ 　　 int i,j; 　　for(i=1;i<=8;i++) 　　{ 　　 printf("%d:",i); 　　for(j=i;j<=8;j+=j&-j) 　　 printf("%d ",j); 　　printf("\n"); 　　} 　　return 0; 　　}

　　　　Output：
　　　1: 1 2 4 8
　　　2: 2 4 8
　　　3: 3 4 8
　　　4: 4 8
　　　5: 5 6 8
　　　6: 6 8
　　　7: 7 8
　　　8: 8

　　　　图片数字对比来看更新A1,须要更新C1,C2,C4,C8。

　　　更新A2，须要更新C2,C4,C8。更新A3，须要更新C3,C4,C8.....

　　　正好与咱们代码运行出来的结果一致。这就为咱们向上更新提供了条件。

　　　再来看一下查询。若是查询A1到A8和，只须要返回C8，查询A1到A7，只须要返回C7+C6+C4

　　　再来看下面这组代码：

　　#include<stdio.h> 　　int main() 　　{ 　　 int i,j; 　　 for(i=1;i<=8;i++) 　　 { 　　 printf("%d:",i); 　　 for(j=i;j;j-=j&-j) 　　 printf("%d ",j); 　　 printf("\n"); 　　 } 　　 return 0; 　　}

　　Output：
　　1: 1
　　2: 2
　　3: 3 2
　　4: 4
　　5: 5 4
　　6: 6 4
　　7: 7 6 4
　　8: 8

　　这段代码只是将以前的i+=lowbit（i）修改成了i-=lowbit（i）

　　再对比以前原图，查询A1到A8，只须要返回C8，查询A1到A7，只须要返回C7,C6,C4与咱们代码运行的效果一致，这就为咱们向下查询提供了条件。

四.树状数组应用

　　再回头看以前引出树状数组的题目，这时候就能够有必定的思路了。

　　树状数组主要的函数分为两个，即更新函数和查询函数。

    void fix(int x) { int i; for(i=x;i<=n;i+=i&-i)    //向上更新
            e[i]++;        //一维树状数组e
 } //注意fix()的形参值x<=0时死循环。
    int getsum(int x) { int ret=0,i;       //返回值为ret，初值为0
        for(i=x;i;i-=i&-i)//向下查询
            ret+=e[i]; return ret; } //注意getsum()的形参值x<0时e[ ]数组越界。

    void fix(int x) { int i; for(i=x;i;i-=i&-i)    //向下更新
            e[i]++; } int getsum(int x) { int ret=0,i; for(i=x;i<=n;i+=i&-i)//向上查询
            ret+=e[i]; return ret; }

　　　树状数组能够有两个方向，1.向下更新，向上查询 2.向上更新，向下查询。本题用的是向上更新，向下查询。

注意：树状数组更新时是增长量，初始时候更新量就是它自己。

　　因此开始时利用更新函数，将每个点更新，以后只要输出就好了。

　　代码：

#include<stdio.h>
int a[100005]; int c[100005]; int n; int lowbit(int x) { return x&(-x); } void add(int x,int ad) { for(int i = x;i<=n;i+=lowbit(i)) { c[i]+=ad; } } int getsum(int x) { int ans = 0; for(int i = x;i>0;i-=lowbit(i)) { ans+=c[i]; } return ans; } int main() { scanf("%d",&n); for(int i = 1;i<=n;i++) { scanf("%d",&a[i]); add(i,a[i]); } int m; scanf("%d",&m); for(int i = 1;i<=m;i++) { char s[2]; int x,y; scanf("%s%d%d",s,&x,&y); if(s[0]=='C') { add(x,y-a[x]); a[x] = y; }else { printf("%d\n",getsum(y) - getsum(x-1)); } } return 0; }

　　　　树状数组其余应用，以后会陆续补充。若对于其有新的理解，也会加入到其中。

　　　更新时间（2018.12.6）

去超越本身不认同的人，去追赶本身理想的人。我想所谓的成长，就是不断的重复这些吧。