转--算法--时间复杂度

前言

算法很重要，可是通常状况下作移动开发并不常常用到，因此不少同窗早就将算法打了个大礼包送还给了老师了，何况不少同窗并无学习过算法。这个系列就让对算法头疼的同窗能快速的掌握基本的算法。过年放假阶段玩了会游戏NBA2K17的生涯模式，没有比赛的日子也都是训练，并且这些训练都是自发的，没有人逼你，从早上练到晚上，属性也不涨，可是若是日积月累，不训练和训练的人的属性值就会产生较大差距。这个忽然让我意识到了现实世界，要想成为一个球星（技术大牛）那就须要日积月累的刻意训练，索性放下游戏，接着写文章吧。

1.算法的效率

虽然计算机能快速的完成运算处理，但实际上，它也须要根据输入数据的大小和算法效率来消耗必定的处理器资源。要想编写出能高效运行的程序，咱们就须要考虑到算法的效率。 
算法的效率主要由如下两个复杂度来评估： 
时间复杂度：评估执行程序所需的时间。能够估算出程序对处理器的使用程度。 
空间复杂度：评估执行程序所需的存储空间。能够估算出程序对计算机内存的使用程度。

设计算法时，通常是要先考虑系统环境，而后权衡时间复杂度和空间复杂度，选取一个平衡点。不过，时间复杂度要比空间复杂度更容易产生问题，所以算法研究的主要也是时间复杂度，不特别说明的状况下，复杂度就是指时间复杂度。

2.时间复杂度

时间频度 
一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但咱们不可能也没有必要对每一个算法都上机测试，只需知道哪一个算法花费的时间多，哪一个算法花费的时间少就能够了。而且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪一个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

时间复杂度 
前面提到的时间频度T(n)中，n称为问题的规模，当n不断变化时，时间频度T(n)也会不断变化。但有时咱们想知道它变化时呈现什么规律，为此咱们引入时间复杂度的概念。通常状况下，算法中基本操做重复执行的次数是问题规模n的某个函数，用T(n)表示，如有某个辅助函数f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T（n)/f(n)的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数，记做T(n)=O(f(n))，它称为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

3.大O表示法

像前面用O( )来体现算法时间复杂度的记法，咱们称之为大O表示法。 
算法复杂度能够从最理想状况、平均状况和最坏状况三个角度来评估，因为平均状况大多和最坏状况持平，并且评估最坏状况也能够避免后顾之忧，所以通常状况下，咱们设计算法时都要直接估算最坏状况的复杂度。 
大O表示法O(f(n)中的f(n)的值能够为一、n、logn、n²等，所以咱们能够将O(1)、O(n)、O(logn)、O(n²)分别能够称为常数阶、线性阶、对数阶和平方阶，那么如何推导出f(n)的值呢？咱们接着来看推导大O阶的方法。

推导大O阶 
推导大O阶，咱们能够按照以下的规则来进行推导，获得的结果就是大O表示法： 
1.用常数1来取代运行时间中全部加法常数。 
2.修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项 
3.若是最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

常数阶 
先举了例子，以下所示。

int sum = 0,n = 100; //执行一次 sum = (1+n)*n/2; //执行一次 System.out.println (sum); //执行一次 

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• 2
• 3

上面算法的运行的次数的函数为f(n)=3，根据推导大O阶的规则1，咱们须要将常数3改成1，则这个算法的时间复杂度为O(1)。若是sum = （1+n）*n/2这条语句再执行10遍，由于这与问题大小n的值并无关系，因此这个算法的时间复杂度仍旧是O(1)，咱们能够称之为常数阶。

线性阶 
线性阶主要要分析循环结构的运行状况，以下所示。

for(int i=0;i<n;i++){ //时间复杂度为O(1)的算法 ... }

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上面算法循环体中的代码执行了n次，所以时间复杂度为O(n)。

对数阶 
接着看以下代码：

int number=1; while(number<n){ number=number*2; //时间复杂度为O(1)的算法 ... }

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能够看出上面的代码，随着number每次乘以2后，都会愈来愈接近n，当number不小于n时就会退出循环。假设循环的次数为X，则由2^x=n得出x=log₂n，所以得出这个算法的时间复杂度为O(logn)。

平方阶 
下面的代码是循环嵌套：

for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=0;j<n;i++){ //复杂度为O(1)的算法 ... } }

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内层循环的时间复杂度在讲到线性阶时就已经得知是O(n)，如今通过外层循环n次，那么这段算法的时间复杂度则为O(n²)。 
接下来咱们来算一下下面算法的时间复杂度：

for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=i;j<n;i++){ //复杂度为O(1)的算法 ... } }

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须要注意的是内循环中int j=i，而不是int j=0。当i=0时，内循环执行了n次；i=1时内循环执行了n-1次，当i=n-1时执行了1次，咱们能够推算出总的执行次数为：

n+(n-1)+(n-2)+(n-3)+……+1 
=(n+1)+[(n-1)+2]+[(n-2)+3]+[(n-3)+4]+…… 
=(n+1)+(n+1)+(n+1)+(n+1)+…… 
=(n+1)n/2 
=n(n+1)/2 
=n²/2+n/2

根据此前讲过的推导大O阶的规则的第二条：只保留最高阶，所以保留n²/2。根据第三条去掉和这个项的常数，则去掉1/2,最终这段代码的时间复杂度为O(n²)。

其余常见复杂度

除了常数阶、线性阶、平方阶、对数阶，还有以下时间复杂度： 
f(n)=nlogn时，时间复杂度为O(nlogn)，能够称为nlogn阶。 
f(n)=n³时，时间复杂度为O(n³)，能够称为立方阶。 
f(n)=2ⁿ时，时间复杂度为O(2ⁿ)，能够称为指数阶。 
f(n)=n!时，时间复杂度为O(n!)，能够称为阶乘阶。 
f(n)=(√n时，时间复杂度为O(√n)，能够称为平方根阶。

4.复杂度的比较

下面将算法中常见的f(n)值根据几种典型的数量级来列成一张表，根据这种表，咱们来看看各类算法复杂度的差别。

n	logn	√n	nlogn	n²	2ⁿ	n!
5	2	2	10	25	32	120
10	3	3	30	100	1024	3628800
50	5	7	250	2500	约10^15	约3.0*10^64
100	6	10	600	10000	约10^30	约9.3*10^157
1000	9	31	9000	1000 000	约10^300	约4.0*10^2567

从上表能够看出，O(n)、O(logn)、O(√n )、O(nlogn )随着n的增长，复杂度提高不大，所以这些复杂度属于效率高的算法，反观O(2ⁿ)和O(n!)当n增长到50时，复杂度就突破十位数了，这种效率极差的复杂度最好不要出如今程序中，所以在动手编程时要评估所写算法的最坏状况的复杂度。

下面给出一个更加直观的图： 

其中x轴表明n值，y轴表明T(n)值（时间复杂度）。T(n)值随着n的值的变化而变化，其中能够看出O(n!)和O(2ⁿ)随着n值的增大，它们的T(n)值上升幅度很是大，而O(logn)、O(n)、O(nlogn)随着n值的增大，T(n)值上升幅度则很小。 
经常使用的时间复杂度按照耗费的时间从小到大依次是：

O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n²)<O(n³)<O(2ⁿ)<O(n!)