进阶图形学（二十六）catmull-rom 样条(spline)公式推导

【别的文章都说网上关于这个资料很多？为什么我在中文互联网上愣是没找到呢？不管了，以下是对http://algorithmist.net/docs/catmullrom.pdf的翻译】

有时候我们想要物体从一个点移动到另一个点，但并不希望它沿着直线移动过去，而是稍微弯曲一点，这时候catmull-rom样条就派上用场了。推导其实很简单。

比如，我们想要构造P0到P1之间的曲线P(t)，P(t)是如下待求解的三次曲线

p-1和p2是控制点，满足如下方程， 是0到1之间的参数，用来控制曲线的尾部与控制点之间的平行程度。

由于

于是

设

由等式[2]可得到：

由等式[3]可得到：

[4a]和[4b]联合可得：

继续化简：

参数  也可以理解为曲线的“紧张程度”。通常取0.5。

最终解出方程

效果如下：

对于多条线段，那么对于第i控制点，方程在x坐标轴上如下：

效果如下：

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