差分约束系统

【模板】差分约束

洛谷P5960 【模板】差分约束算法

前置知识

想要作对差分约束，负环断定这个知识确定是要会的，不会的能够看个人另外一篇博客qwq

另外，若干您不想看题解，也能够直接看判断负环的模板题P3385

---

差分约束系统

（如下内容部分摘自《算法竞赛进阶指南》）

• 差分约束系统

差分约束系统是一种特殊的\(N\)元一次不等式

它包含\(N\)个变量\(X_1\) ~ \(X_n\)以及\(M\)各约束条件，每一个约束条件都是由两个变量作差构成的（因此是差分嘛！），形如\(X_i-X_n≤C_k\)，其中\(C_k\)是常数（能够是负数也能够是非负数），\(1≤i,j≤N，1≤k≤M\)

咱们要解决的问题就是：求一组解\(X_1=a_1,X_2=a_2···X_n=a_n\)，使全部约束条件都获得知足

• 转换思想

差分约束系统的每一个约束条件\(X_i-X_n≤C_k\)能够变形为\(X_i≤X_j+C_k\)

有没有以为有那么一点点的熟悉？

嗯...和求解单源最短路中的三角形不等式\(dis[i]≤dis[j]+e[i].val\)（\(dis[i]-dis[j]≤e[i].val\)）很是类似

所以能够三角形不等式推广：把每一个变量\(X_i\)看做有向图中的一个节点\(i\)，对于每一个约束条件\(X_i-X_n≤C_k\)，从节点\(j\)向节点\(i\)连一条长度为\(C_k\)的有向边

如今来看下面给出的这张图，来说解一下差分约束中的最短路和最长路（可能有点绕，可是图很好理解）：

从这张图中的例子，咱们不可贵出（重点啊）：

1. 差分约束跑最短路，跑出的结果是全部解中的最大解

2. 差分约束跑最长路，跑出的结果是全部解中的最小解

可是，最短路和最长路也是能够互相转换的，什么意思？（须要掌握）

在某些题目中，约束条件形如\(x_i-X-j≥C_k\)，咱们有两种方式解决：

1. 能够从\(j\)到\(i\)连一条长度为\(C_k\)的有向边，而后计算单源最长路，若图中有正环则无解

2. 咱们也能够把约束条件转化成\(X_j-X_i≤-C_k\)，再按单源最短路进行计算

• 解题模型

PS：差分约束是有多组解的，可是题目通常只会要求输出其中任意一种

1. 创建“超级源点0”，将\(0\)与每一个点\(i\)连一条长为\(0\)的边，而后以\(0\)为起点求单源最短路

2. 不创建“超级源点”，将每个点都入队而后去跑最短路

若图中存在负环，则给定的差分约束系统无解；不然\(X_i=dis[i]\)就是差分约束系统的一组解

---

例题代码

如今给出这道模板题的代码（以下是\(SPFA\)版本的，下面会给出\(Ford\)版本的函数段）：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
queue<int> q;
int n,m,u,v,w,tot;
int dis[200010],vis[200010],cnt[200010],head[200010];

struct node {
	int to,net,val;
} e[200010];

inline void add(int u,int v,int w) {
	e[++tot].to=v;
	e[tot].val=w;
	e[tot].net=head[u];
	head[u]=tot;
}

inline bool spfa() {
	for(register int i=0;i<=n;i++) {
		vis[i]=0;
		dis[i]=20050206;
	}
	dis[0]=0;
	vis[0]=1;
	q.push(0);
	while(!q.empty()) {
		int x=q.front();
		q.pop();
		vis[x]=0;
		for(register int i=head[x];i;i=e[i].net) {
			int v=e[i].to;
			if(dis[v]>dis[x]+e[i].val) {
				dis[v]=dis[x]+e[i].val;
				if(cnt[v]>=n) return false;
				if(!vis[v]) {
					vis[v]=1;
					cnt[v]++;
					q.push(v);
				}
			}
		} 
	}
	return true;
}

int main() {
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(register int i=1;i<=m;i++) {
		scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
		add(v,u,w);
	}
	for(register int i=1;i<=n;i++) add(0,i,0);
	if(spfa()==false) puts("NO");
	else {
		for(register int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",dis[i]);
	}
	return 0;
}

下面是\(Ford\)版本的函数段，其余的和上面的没什么区别

inline bool ford() {
	for(register int i=0;i<=n;i++) dis[i]=20050206;
	dis[0]=0;
	for(register int i=0;i<n;i++) {
		for(register int j=1;j<=tot;j++) {
			if(dis[e[j].fro]+e[j].val<dis[e[j].to]) {
				dis[e[j].to]=dis[e[j].fro]+e[j].val;
			}
		}
	}
	for(register int i=1;i<=tot;i++) {
		if(dis[e[i].fro]+e[i].val<dis[e[i].to]) return false;
	}
	return true;
}

---

好题推荐

• 洛谷P3275 糖果 （差分约束仍是算经典的一道题，不过也能够缩点+拓扑A掉）

• 洛谷P1993 小k的农场

• 洛谷SP116 INTERVAL-Intervals

• 洛谷P2294 狡猾的商人 （思路巧妙的差分约束/并查集/贪心/DP（后两种比较玄学））

---

最后，关于上面其余好题的题解我会陆陆续续更新在个人博客中，欢迎你们来踩qwq

若是有任何不懂或是个人题解有误的，欢迎你们在评论区留言，我会及时回复、改正，谢谢你们啊orz