LeetCode Monotone Stack Summary 单调栈小结

 

话说博主在写 Max Chunks To Make Sorted II 这篇帖子的解法四时，写到使用单调栈Monotone Stack的解法时，忽然脑中触电通常，想起了以前曾经在此贴 LeetCode All in One 题目讲解汇总(持续更新中...) 的留言区中说要写单调栈的总结帖，当时答应了要写，就去 LeetCode 上看标记为 Stack 的题，但是发现有好多题，并且不少用的不是单调栈，因而博主一个一个的看了起来，可是无奈太多了，一直没有时间所有看完，就一直没有动笔写。虽然说时间就像那啥，挤挤总会有的，可是这不一个恍惚，半年就过去了，若是博主再不开始写，等回过神来，绝对又是半年。因而，博主决定改变策略，不去看全部题的，而是好坏很少想，直接动笔先写个大概，留到之后慢慢补充完整吧。

好，废话很少说，来讲单调栈吧。所谓的单调栈 Monotone Stack，就是栈内元素都是单调递增或者单调递减的，有时候须要严格的单调递增或递减，根据题目的具体状况来看吧。关于单调栈，这个帖子讲的不错，并且举了个排队的例子来类比。那么，博主也举个生动的例子来讲明吧：好比有一天，某家店在发 free food，不少人在排队，因而你也赶过去凑热闹。可是因为来晚了，队伍已经很长了，想着否则就插个队啥的。但发现排在队伍最前面的都是一些有纹身的大佬，惹不起，只能赞美道，小猪佩奇身上纹，来世还作社会人。因而往队伍后面走，发现是一群小屁孩，直接所有撵走，而后排在了社会大佬们的后面。那么这就是一个单调递减的栈，按实力递减。因为栈元素是后进先出的，因此上面的例子正确的检查顺序应该是从队尾往前遍历，小屁孩都撵走，直到遇到大佬中止，而后排在大佬后面（假设这个队列已经事先按实力递减排好了）。

明白了单调栈的加入元素的过程后，咱们来看看它的性质，以及为啥要用单调栈。单调栈的一大优点就是线性的时间复杂度，全部的元素只会进栈一次，并且一旦出栈后就不会再进来了。

单调递增栈能够找到左起第一个比当前数字小的元素。好比数组 [2 1 4 6 5]，刚开始2入栈，数字1入栈的时候，发现栈顶元素2比较大，将2移出栈，此时1入栈。那么2和1都没左起比自身小的数字。而后数字4入栈的时候，栈顶元素1小于4，因而1就是4左起第一个小的数字。此时栈里有1和4，而后数字6入栈的时候，栈顶元素4小于6，因而4就是6左起第一个小的数字。此时栈里有1，4，6，而后数字5入栈的时候，栈顶元素6大于5，将6移除，此时新的栈顶元素4小于5，那么4就是5左起的第一个小的数字，最终栈内数字为 1，4，5。

单调递减栈能够找到左起第一个比当前数字大的元素。这里就不举例说明了，一样的道理，你们能够自行验证一下。

性质搞懂了后，下面来看一下应用，什么样的场景下适合使用单调栈呢？能够看下 Max Chunks To Make Sorted II 这篇帖子的解法四，但这道题并非单调栈的最典型应用，只能说能想到用单调栈确实牛b，但通常状况下是不容易想到的。咱们来看一些特别适合用单调栈来作的题目吧。

首推 Trapping Rain Water 这道题，虽然博主开始也没有注意到可使用单调栈来作。但其实是一道至关合适的题，来复习一下题目：

For example, 
Given [0,1,0,2,1,0,1,3,2,1,2,1], return 6.

给了边界的高度（黑色部分），让求能装的水量（蓝色部分）。 为啥能用单调栈来作呢？咱们先来考虑一下，什么状况下能够装下水呢，是否是必须两边高，中间低呢？咱们对低洼的地方感兴趣，就可使用一个单调递减栈，将递减的边界存进去，一旦发现当前的数字大于栈顶元素了，那么就有可能会有能装水的地方产生。此时咱们当前的数字是右边界，咱们从栈中至少须要有两个数字，才能造成一个坑槽，先取出的那个最小的数字，就是坑槽的最低点，再次取出的数字就是左边界，咱们比较左右边界，取其中较小的值为装水的边界，而后此高度减去水槽最低点的高度，乘以左右边界间的距离就是装水量了。因为须要知道左右边界的位置，因此咱们虽然维护的是递减栈，可是栈中数字并非存递减的高度，而是递减的高度的坐标。这应该属于单调栈的高级应用了，可能并非那么直接就能想出正确的解法。

再来看一道 Largest Rectangle in Histogram，这道求直方图中的最大矩阵的题，也是很是适合用单调栈来作的，来复习一下题目：

For example,
Given height = [2,1,5,6,2,3],
return 10.

咱们能够看到，直方图矩形面积要最大的话，须要尽量的使得连续的矩形多，而且最低一块的高度要高。有点像木桶原理同样，老是最低的那块板子决定桶的装水量。那么既然须要用单调栈来作，首先要考虑到底用递增栈，仍是用递减栈来作。咱们想啊，递增栈是维护递增的顺序，当遇到小于栈顶元素的数就开始处理，而递减栈正好相反，维护递减的顺序，当遇到大于栈顶元素的数开始处理。那么根据这道题的特色，咱们须要按从高板子到低板子的顺序处理，先处理最高的板子，宽度为1，而后再处理旁边矮一些的板子，此时长度为2，由于以前的高板子可组成矮板子的矩形 ，所以咱们须要一个递增栈，当遇到大的数字直接进栈，而当遇到小于栈顶元素的数字时，就要取出栈顶元素进行处理了，那取出的顺序就是从高板子到矮板子了，因而乎遇到的较小的数字只是一个触发，表示如今须要开始计算矩形面积了，为了使得最后一块板子也被处理，这里用了个小trick，在高度数组最后面加上一个0，这样原先的最后一个板子也能够被处理了。因为栈顶元素是矩形的高度，那么关键就是求出来宽度，那么跟以前那道 Trapping Rain Water 同样，单调栈中不能放高度，而是须要放坐标。因为咱们先取出栈中最高的板子，那么就能够先算出长度为1的矩形面积了，而后再取下一个板子，此时根据矮板子的高度算长度为2的矩形面积，以此类推，直到数字大于栈顶元素为止，再次进栈，巧妙的一比！

初步来总结一下单调栈吧，单调栈实际上是一个看似原理简单，可是能够变得很难的解法。线性的时间复杂度是其最大的优点，每一个数字只进栈并处理一次，而解决问题的核心就在处理这块，当前数字若是破坏了单调性，就会触发处理栈顶元素的操做，而触发数字有时候是解决问题的一部分，好比在 Trapping Rain Water 中做为右边界。有时候仅仅触发做用，好比在 Largest Rectangle in Histogram 中是为了开始处理栈顶元素，若是仅做为触发，可能还须要在数组末尾增长了一个专门用于触发的数字。另外须要注意的是，虽然是递增或递减栈，但里面实际存的数字并不必定是递增或递减的，由于咱们能够存坐标，而这些坐标带入数组中才会获得递增或递减的数。因此对于玩数组的题，若是相互之间关联很大，那么就能够考虑考虑单调栈可否解题。

 

应用实例：

Max Chunks To Make Sorted II

Trapping Rain Water

Largest Rectangle in Histogram

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参考资料：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/26465701

https://chuckliu.me/#!/posts/585a2cb4f33c18149026f0be

https://blog.csdn.net/liujian20150808/article/details/50752861

 

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