机器学习回顾篇（1）：梯度降低法

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1 引言

最近打算开始写一些关于机器学习方面的博客，算是对以往接触过的算法的一个总结，在考虑从哪一个算法开始。想了想仍是从基础算法开始，例如本文要说的梯度降低。说梯度降低算法是基础中的基础毫不为过，咱们必须认可，机器学习中，不少算法都与优化有关，梯度降低算法算是最受欢迎的一类的优化算法，线性回归、逻辑回归、SVM、深度学习等等算法都用到了梯度降低。

2 梯度

咱们先来分析一个下山问题：假设咱们在一座山上，要作的是以最快的速度赶往一个最低的那个山谷，可是咱们不知道附近的地形，不知道路线，更不知道海拔最低的山谷在哪。要作到尽快，咱们就只能走一步算一步，即每走一步时都选择降低最多的那个方向走，换句话说就是往最陡的方向走，当走到一个位置不管下一步往哪里迈，海拔都不会下降时，咱们就认为咱们已经到达了咱们要去的山谷。

梯度降低算法与这个下山问题求解思路是同样的。

假设存在函数$f(x)$，图像以下图所示，起始点是的初始值，但愿找到函数$f(x)$的最小值点。

 

在下山问题中，咱们人能够经过视觉或者其余外部感官上的触觉来感知东南西北不一样方向的坡度，而后选择最陡的方向，但在函数求最小值问题中，计算机可没有视觉等外部感官，那么怎么来判断那个方向最陡呢？

还记得大学的时候学过（其实高中也学过）的导数知识吗？导数定义以下：

${f}'(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}}+\Delta x)-f({{x}_{0}})}{\Delta x}$

固然，定义不是关键，关键在于它的的几何意义：函数$f(x)$在$x={{x}_{0}}$处的导数表示在这一点上的切线斜率，换句话说，函数$f(x)$在${{x}_{0}}$处的导数表明着$f(x)$在$x={{x}_{0}}$附近的变化率，也就是导数能够衡量$x$取值在${{x}_{0}}$附近时$f(x)$随$x$变化的快慢。$\left| {f}'(x) \right|$越大，$f(x)$随x变化得越快，函数在图像上表现得越陡峭。

导数解决了一元函数中函数值随自变量变化快慢的问题，但对于多元函数例如上面3为图像所表示的函数，导数就力有未逮了，这时候咱们须要用到偏导的知识：

$\frac{\partial }{\partial {{x}_{i}}}f({{x}_{0}},{{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{n}})=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({{x}_{0}},\ldots ,xi+\Delta x,\ldots ,{{x}_{n}})-f({{x}_{0}},\ldots ,{{x}_{i}},\ldots ,{{x}_{n}})}{\Delta x}$

导数与偏导数本质是一致的，但偏导能够衡量除$x$外其余自变量保持不变时，函数值随xj所在维度变化快慢。分别对不一样维度求偏导，咱们就能够知道函数$f({{x}_{0}},{{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{n}})$在不一样维度（方向）变化快慢，从而综合各个方向，获取一个最佳的方向收敛（下山）。

好了，咱们如今能够回归到梯度的问题了。什么是梯度呢？函数在某一点的梯度是一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致，而它的模为方向导数的最大值。

咱们以一元线性回归为例，假设模型为:

$y=f(x)={{\theta }_{0}}+{{\theta }_{1}}\cdot x$

此时，${{\theta }_{0}}$和${{\theta }_{1}}$都是未知的，是须要去拟合的参数。当咱们初步肯定了${{\theta }_{0}}$、${{\theta }_{1}}$的值以后，咱们须要定义一个损失函数这对${{\theta }_{0}}$和${{\theta }_{1}}$与的拟合程度进行衡量，通常用预测值与真实值之间的偏差平方和来做为损失函数：

$J({{\theta }_{0}},{{\theta }_{1}})=\frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}{{{({{\theta }_{0}}+{{\theta }_{1}}\cdot {{x}_{i}}-{{y}_{i}})}^{2}}}$

注意，在这个损失函数中，${{x}_{i}}$和${{y}_{i}}$都是已知的值，${{\theta }_{0}}$和${{\theta }_{1}}$才是变量。若是你足够细心的话，你会发现上面的函数表达式中，多了一个$\frac{1}{2}$，这个$\frac{1}{2}$对损失函数$J({{\theta }_{0}},{{\theta }_{1}})$在何处取得最小值并没有影响，只是为了后续求导方便而添加的，千万不要纠结这个。做为损失函数，咱们要作的就是求出${{\theta }_{0}}$、${{\theta }_{1}}$具体值使$J({{\theta }_{0}},{{\theta }_{1}})$最小。这就能够用上梯度的知识了，$J({{\theta }_{0}},{{\theta }_{1}})$中有两个位置参数，因此，咱们须要使用偏导。

而后分别对${{\theta }_{0}}$、${{\theta }_{1}}$求偏导：

$\frac{\partial J({{\theta }_{0}},{{\theta }_{1}})}{\partial {{\theta }_{0}}}=2\cdot \frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}{({{\theta }_{0}}+{{\theta }_{1}}\cdot {{x}_{i}}-{{y}_{i}})=}\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{(f({{x}_{i}})-{{y}_{i}})}$

$\frac{\partial J({{\theta }_{0}},{{\theta }_{1}})}{\partial {{\theta }_{1}}}=2\cdot \frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}{({{x}_{i}}({{\theta }_{0}}+{{\theta }_{1}}\cdot {{x}_{i}}-{{y}_{i}}))=}\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{({{x}_{i}}\cdot (f({{x}_{i}})-{{y}_{i}})})$

至此，等号右边就没有了未知参数，就是说能够经过计算获取偏导。另外还记得上面说的$\frac{1}{2}$吗，这不就被约去了吗？

上面的函数只有两个参数，咱们继续扩展到$n$个参数的状况，这时候该怎么求偏导（梯度）呢？

此时函数表达式为：

$f({{x}_{0}},{{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{n}})={{\theta }_{0}}+{{\theta }_{1}}\cdot {{x}_{1}}+{{\theta }_{2}}\cdot {{x}_{2}}+\ldots +{{\theta }_{n}}\cdot {{x}_{n}}$

损失函数为：

$J({{x}_{0}},{{x}_{1}},\ldots ,{{x}_{n}})=\frac{1}{2m}\cdot \sum\limits_{i=1}^{m}{{{(f({{x}_{i}})-{{y}_{i}})}^{2}}}=\frac{1}{2m}\cdot \sum\limits_{i=1}^{m}{{{({{\theta }_{0}}+{{\theta }_{1}}\cdot {{x}_{1}}+{{\theta }_{2}}\cdot {{x}_{2}}+\ldots +{{\theta }_{n}}\cdot {{x}_{n}}-{{y}_{i}})}^{2}}}$

求偏导：

$\begin{align}
  & \frac{\partial J({{\theta }_{0}},{{\theta }_{1}},\ldots ,{{\theta }_{n}})}{\partial {{\theta }_{k}}}=\frac{\partial }{\partial {{\theta }_{k}}}\frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}{{{({{\theta }_{0}}+{{\theta }_{1}}\cdot {{x}_{1}}+{{\theta }_{2}}\cdot {{x}_{2}}+\ldots +{{\theta }_{n}}\cdot {{x}_{n}}-{{y}_{i}})}^{2}}} \\
 & =\frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}{2\cdot ({{\theta }_{0}}+{{\theta }_{1}}\cdot {{x}_{1}}+{{\theta }_{2}}\cdot {{x}_{2}}+\ldots +{{\theta }_{n}}\cdot {{x}_{n}}-{{y}_{i}})\cdot }\frac{\partial }{\partial {{\theta }_{k}}}({{\theta }_{0}}+{{\theta }_{1}}\cdot {{x}_{1}}+{{\theta }_{2}}\cdot {{x}_{2}}+\ldots +{{\theta }_{n}}\cdot {{x}_{n}}-{{y}_{i}}) \\
\end{align}$

在${{\theta }_{0}}+{{\theta }_{1}}\cdot {{x}_{1}}+{{\theta }_{2}}\cdot {{x}_{2}}+\ldots +{{\theta }_{n}}\cdot {{x}_{n}}-{{y}_{i}}$中，只有${{\theta }_{k}}\cdot {{x}_{k}}$这一项是未知参数，因此对${{\theta }_{0}}+{{\theta }_{1}}\cdot {{x}_{1}}+{{\theta }_{2}}\cdot {{x}_{2}}+\ldots +{{\theta }_{n}}\cdot {{x}_{n}}-{{y}_{i}}$求导时，只会留下${{\theta }_{k}}$，因此上式能够化简为：

$\begin{align}
  & \frac{\partial J({{\theta }_{0}},{{\theta }_{1}},\ldots ,{{\theta }_{n}})}{\partial {{\theta }_{k}}}=\frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}{2\cdot ({{\theta }_{0}}+{{\theta }_{1}}\cdot {{x}_{1}}+{{\theta }_{2}}\cdot {{x}_{2}}+\ldots +{{\theta }_{n}}\cdot {{x}_{n}}-{{y}_{i}})\cdot }{x_k} \\
 & =\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{(f({{x}_{i}})-{{y}_{i}})\cdot }{x_k} \\
\end{align}$

这就是更通常化的求偏导公式。

3 更新梯度

知道怎么求偏导，咱们就能够得到在不一样位置下的梯度，进一步的，就能够进行梯度更新，仍是先以上面说过的一元线性回归为例，假设本次参数初始取值为${{\theta }_{0}}$、${{\theta }_{1}}$，下一次参数取值${{{{\theta }'}}_{0}}$和${{{{\theta }'}}_{1}}$：

${{{{\theta }'}}_{0}}\text{=}{{\theta }_{0}}\text{-}\beta \frac{\partial J({{\theta }_{0}},{{\theta }_{1}})}{\partial {{\theta }_{0}}}\text{=}{{\theta }_{0}}-\frac{\beta }{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{(f({{x}_{i}})-{{y}_{i}})}$

${{{{\theta }'}}_{1}}\text{=}{{\theta }_{1}}\text{-}\beta \frac{\partial J({{\theta }_{0}},{{\theta }_{1}})}{\partial {{\theta }_{1}}}\text{=}{{\theta }_{1}}-\frac{\beta }{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{({{x}_{i}}(f({{x}_{i}})-{{y}_{i}}))}$

而后经过上面的两个公式不断迭代更新参数${{\theta }_{0}}$和${{\theta }_{1}}$，直到梯度不在降低，即偏导数为0。用上面的下山问题来讲，就是每走一步都计算一下最陡的方向，而后朝这个方向迈一步，而后又计算哪一个方向最陡，继续朝这个方向迈步……直到走到一个地方不管朝哪一个方向走，海拔都不会下降，那么就认为到了最低的山谷。

那么，上面两个式子中的$\beta$是什么呢？在梯度降低算法中，这个$\beta$被称为学习率，用于控制降低的速度。仍是用下山问题来解释，偏导能够告诉咱们，哪一个方向最陡，并且偏导的大小就意味着朝这个方向迈一步能够走多远，若是你以为这一步的的距离知足不了你，那么你可让B大于1，偏导乘以这个$\beta$，那么你一步能够走的更远；若是你以为下山步子太大危险，你可让$\beta$处于0和1之间，而后偏导乘以$\beta$，这样一步迈出距离就会小一些。

是否是$\beta$越大越好呢？不是，有句话怎么说来着，步子大了容易扯着蛋，原本一步正常是走1米，你非要一步走1公里，就可能直接从这座山跨到领一座山，直接跃过了山谷，还怎么找山谷。

是否是$\beta$越小越好呢？也不是，$\beta$过小的话，下山太慢，正常一步1米，你非要一步1毫米，几十年也下不了山，另外，若是半山腰处有个小坑洼，若是踩了进去，因为步子过小，不管朝哪一个方向迈步，都是上坡，就会觉得到了山谷，在函数优化问题上，这就是陷入局部最优。

因此，$\beta$的大小仍是要视状况而定。

更通常化的，咱们将上述梯度更新公式应用到更多维的状况。应用到多维上也是同样的，只不过计算量更大，由于每一维度都要先求偏导，而后经过下面公式更新参数：

${{{{\theta }'}}_{k}}\text{=}{{\theta }_{k}}\text{-}\beta \frac{\partial J({{\theta }_{0}},{{\theta }_{1}})}{\partial {{\theta }_{k}}}\text{=}{{\theta }_{k}}-\frac{\beta }{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{({{x}_{k}}(f({{x}_{i}})-{{y}_{i}}))}$

4总结

本文介绍了梯度降低算法，精髓尽囊括其中。但愿对各位读者有所帮助。