【博弈论&&建模】 Candy Piles

时间 2021-01-02 标签建模题解博弈

题目描述：

S o l u t i o n Solution Solution

我们形象的理解一下去糖果的过程是怎么样的。

首先，我们将原本无序的糖果排序一下变成有序的序列，这样子能够较好的处理取出石子最多这一操作，如下：
//这里借用一下atcoder的官方图片，以助于理解

然后我们模拟一下取糖果的效果。
如果是取走石子最多的一堆，实际上相当于消除最左边的一列：

如果是给每堆石子都取走一个，那么就是消除最下面的一行：

因此，我们将这样的操作形象理解之后可以发现，这样的操作要么是消除最左边的一列要么是消除最底下的一行。

接着我们抽象的将这样的情况转化为网格图：

将操作转化到网格图上，不难想到，消除最右边的一列，就是往右走一格；消除最下面的一行，就是往上走一格。

什么情况结束呢？走到边界就结束了，并且谁走到边界谁就输。

OK，我们重新回到题目上，题目上求的是是否必胜与必败，这是一道博弈。
我们给每个点都附上一个身份：必胜点与必败点。表示走到当前是必胜还是必败。
显然的，网格图的边界都是必败点。而对于一个点，只要他的右边或者上面有一个点是必败点，那么当前就是必胜点。如果他的右边以及上面都是必胜点，那么当前就是必败点。
这里用○表示必败点，×表示必胜点：

我们是从原点 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)出发，下一步是先手。所以可以理解为后手此时处在原点。那么当原点是必胜点是，后手必胜，原点是必败点时，先手必胜。

但是，对于此题的数据范围而言，我们显然不能够将整个网格图的信息都记录下来。所以我们需要在上图的基础上寻找规律：

我们发现，除了边界点，每一条对角线上的点都是相同类型的。
因此，我们如果想要确定原点的类型是怎么样的，只要确定其对角线上的点的类型是怎么样的即可。
原点斜向上的对角线是45度对角线，所以我们是需要找到以原点左下角的最大正方形，设右上角为 ( i , i ) (i,i) (i,i)：

如果当前 ( i , i ) (i,i) (i,i)到边界的一端的前一个点的距离为奇数，那么当前点就是必败点，即原点是必败点；反之原点就是必胜点。
到此，这道题就结束了！
十分巧妙的建模……

Code

？？那么简单还不会写？？