网络流练习笔记

一些经常使用的套路：

• 必须完成的一些目标，能够考虑搞进流量中，由于跑最大流的话确定会流满，也就至关于强制地完成了那些目标。
• 拆点。而后能够经过两点之间连某个容量的边来限制该点取到的次数。
• 创建超级源点、汇点。几乎在每道题中都会用到，不光方便计算，还能够经过连边的方式对某些状态进行操做。

P1251 餐巾计划问题

发现天天开始和结束时的状态是不同的，考虑拆点。

接着怎么办？模拟餐巾的路线吗？

假如从白天向晚上连一条边表示餐巾由干净变为脏的话，会发现根本没法处理天天的需求量。

那反正只要是干净的就好了，咋来的咱无论，那就直接从超级源点流过来嘛。而后就可让餐巾流到超级汇点来完成需求啦！

具体分如下几种：

• 由超级源点向天天晚上连一条容量为当日需求，费用为 \(0\) 的边。表示晚上得到脏餐巾。
• 由天天早上向超级汇点连一条容量为当日需求，费用为 \(0\) 的边。表示白天须要新餐巾。
• 由天天晚上向第二天晚上连一条容量为 \(\infty\)，费用为 \(0\) 的边。表示餐巾不洗留到下一天。
• 由天天晚上向如今送去快洗能洗好的那天早上连一条容量为 \(\infty\)，费用为快洗费用的边。表示送去快洗。
• 由天天晚上向如今送去慢洗能洗好的那天早上连一条容量为 \(\infty\)，费用为慢洗费用的边。表示送去慢洗。
• 由超级源点向天天早上连一条容量为 \(\infty\)，费用为购买新餐巾费用的边。表示购买新餐巾。

而后跑最小费用最大流。

值得注意的是，第三点处于贪心的考虑，确定会直接洗掉。但咱们发现设计的方案中并无设置这样一个库存餐巾，因此就得经过这一步来使得餐巾可以在必须洗的那天晚上恰好洗掉，从而达到和提早洗完同样的效果。因此若是某天晚上就算送去快洗也洗不完了，前一天晚上的这条边能够不连。

P4015 运输问题

乱翻网络流二十四题时有幸看到这个帖子。

故在此说明一点：最长路径问题是 NP-HARD 的缘由是可能存在正权圈，这种状况下要求最长简单路径。相似地，存在负权圈的最短简单路径也是 NP-HARD 的。详情能够看这个回答。

每一个仓库向每一个零售商店连容量为 \(\infty\)，给定费用的边。再从超级源点向每一个仓库连容量为给定数量，费用为 \(0\) 的边；从每一个零售商店向超级源点连容量为给定数量，费用为 \(0\) 的边，最后跑最大费用最大流。直接将权值取反而后再跑一遍最小费用最大流便可，记得跑完一遍后记得重置每条边当前流量。

其实这种简单题的建模不难，对着题意模拟，把每种可能的状况考虑进去就好了。

P4013 数字梯形问题

若是理解了最上面三条东西能够秒杀。

路径互不相交说明啥？点不能重复选呗，那就拆点而后两点之间连容量为 \(1\) 的边。

路径仅容许在数字结点处相交说明啥？边不能重复选，点能够重复选呗，那就两点之间容量搞成 \(\infty\)，从上一层走到下一层的边容量搞成 \(1\)（容易发现上一种状况这里设成大于 \(1\) 的均可行）。

路径随便相交怎么办？除了从超级源点到最上面的 \(m\) 个点容量设为 \(1\) 外其它容量所有 \(\infty\) 呗。

P2765 魔术球问题

神仙题，真的神仙。

依次塞球，若是塞不下了就加一根柱子，直到柱子不够为止。

那么具体咋建图呢？依旧考虑拆点，但拆点的做用有所不一样，这里仅仅是为了方便处理，将每一个球拆成出球（叠在一个球上面）和入球（一个球叠在它上面）。

从超级源点向每一个入球连容量为 \(1\) 的边，从每一个出球向超级汇点连容量为 \(1\) 的边。再从每对合法的较小的入球向较大的出球连边。

能够发现，从超级源点到超级汇点最长只存在长度为 \(3\) 的正向路径！举个栗子：\(S\to in_1\to out_3\to T\)。

但这样刚好表明了一个球的堆叠！接下来：\(S\to in_3\to out_6\)。

这样就堆叠了两个球！因此就这样每次新加一个球，若是最大流没有增长，说明须要一根新的柱子。

接着来考虑第二问：怎么找方案？

好像把全部路径撸出来而后重组一下是可行的，但这里给一种普适性不好的作法（显然本题流量仅有 \(0\) 和 \(1\)）。

考虑一条正向边，若是它被选了，那么流量必定为 \(1\)。DFS 下去，遇到这样的边而且出点尚未用过，就把流量置为 \(1\) 而后继续递归下去。

从超级汇点到入球都没有问题，到出球时直接输出。

至于正确性嘛，流量为 \(1\) 的边确定是流满的嘛，那还能咋流呢？不可能出现两条同时流满的边嘛。

P2774 方格取数问题

黑白染色，由相邻的黑点向白点连容量为 \(\infty\) 的边。

黑点接到超级源点上，白点接到超级汇点上，权值为对应的数。

想要合法，无非就是一些点不选。显然中间的边是不会去删的，只会删两边的边。求出最小割（不连通说明合法）而后拿总权值减一下就行了。