Leetcode-分治

50. Pow(x, n)

实现 pow(x, n) ，即计算 x 的 n 次幂函数。

示例 1:

输入: 2.00000, 10
输出: 1024.00000

示例 2:

输入: 2.10000, 3
输出: 9.26100

示例 3:

输入: 2.00000, -2
输出: 0.25000
解释: 2-2 = 1/22 = 1/4 = 0.25

说明:

-100.0 < x < 100.0
n 是 32 位有符号整数，其数值范围是 [−231, 231 − 1] 。

题目难度: Midium

思路1: 二分 + 递归

首先看到题目，最直观的想法就是一次遍历，每次都乘上x。时间复杂度为$O(n)$, 空间复杂度为$O(1)$.
$f(n)=f(n-1)*x$

一般而言，最暴力的方法不会是效率最高的方法， 这题也不例外。好比

$$\begin{align}2^4=2^2*2^2 \\ 2^5=2^3*2^2\end{align}$$

咱们其实并不须要计算$2^1$一直到$2^n$. 所以能够获得一个更高效的计算公式
$$x^n=\begin{cases} x^{\frac{n+1}{2}}*x^{\frac{n-1}{2}}, if(n\%2!=0)\\ x^{\frac{n}{2}}*x^{\frac{n}{2}}, if(n\%2==0)\end{cases}$$

def myPow(x -> float, n -> int) -> float:
    if n == 0:
        return 1
    
    flag = 1 if n > 0 else -1
    n = abs(n)
    
    def helper(x, n):
        if n == 0:
            return 1
        
        # 若是是奇数
        if n % 2:
            res = helper(x, (n-1) // 2)
            return res * res * x
            
        # 若是是偶数
        res = helper(x, n // 2)
        return res * res
        
    return helper(x, n) if flag > 0 else 1. / helper(x, n)

时间复杂度: $O(log(n))$, 空间复杂度：$O(log(n))$.

思路2
二分 + 迭代

def myPow(x -> float, n -> int) -> float:
    if n == 0:
        return 1
    
    flag = 1 if n > 0 else -1
    n = abs(n)
    
    res = 1.
    ans = x
    while n > 0:
        if n % 2:
            res *= ans
            
        ans *= ans
        n //= 2
        
        
    return res if flag > 0 else 1. / res

时间复杂度为$O(log(n))$, 空间复杂度为$O(1)$

相比于第二种思路， 我的以为第一种思路更容易理解， 但须要额外的空间复杂度。 方法二， 想了好久仍是不能彻底理解。

53. 最大子序和

给定一个整数数组 nums ，找到一个具备最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例:

输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。
进阶:

若是你已经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试使用更为精妙的分治法求解。

这道题是一个比较典型的动态规划问题， 既然是动态规划问题， 那就须要明确选择和状态

状态： $f(n)$表示以nums[n-1]结束的最大子序列和.

选择： 是否选择元素做为最大和的连续子数组的元素。

状态转移方程：

$$ f(n) =\begin{cases} f(n-1) + nums[n-1], &if (f(n-1) + nums[n-1]>nums[n-1])\\ nums[n-1],&else\end{cases} $$

通俗一点来理解就是，若是当前的元素不能使最大子序和变大，则将已有的子序列舍弃。

基于状态转移方程， 能够写出以下代码

def maxSubArray(nums):
    if not nums:
        return 
    n = len(nums)
    
    b = nums[0]
    res = b
    for i in range(1, n):
        b = max(b+nums[i], nums[i])
        res = max(res, b)
        
    return res

思路2

分治法

最大子序和能够有3种状况

1. 最大子序和出如今数组的左半部分
2. 最子子序和出如今数组的右半部分
3. 最大子序和跨越数组的左半部分和右半部分

最后的最大值为左半部分的最大值， 右半部分的最大值， 跨越左半部分和右半部分的最大值之间的最大值

def maxSubArray(nums):
    if not nums:
        return
    
    n = len(nums)
    
    if n == 1:
        return nums[0]
    
    # 左半部分的最大值
    max_left = maxSubArray(nums[:n//2])
    
    # 右半部分的最大值
    max_right = maxSubArray(nums[n//2:])
    
    # 计算中间的最大子序和
    
    # 从右到左计算左边的最大子序和
    max_l = nums[len(nums) // 2 - 1]
    tmp = 0
    for i in range(len(nums) // 2 - 1, -1, -1):
        tmp += nums[i]
        max_l = max(tmp, max_l)
        
        
    # 从左到右计算右边的最大子序和
    max_r = nums[len(nums) // 2]
    tmp = 0
    for i in range(len(nums) // 2, len(nums)):
        tmp += nums[i]
        max_r = max(tmp, max_r)
        
    #返回三个中的最大值
    return max(max_right,max_left,max_l+max_r)

时间复杂度为$nlog(n)$, 空间复杂度为$O(log(n))$

169. 多数元素

给定一个大小为 n 的数组，找到其中的多数元素。多数元素是指在数组中出现次数大于 ⌊ n/2 ⌋ 的元素。

你能够假设数组是非空的，而且给定的数组老是存在多数元素。

示例 1:

输入: [3,2,3]
输出: 3

示例 2:

输入: [2,2,1,1,1,2,2]
输出: 2

最简单， 最直接的想法就是排序， 去最中间的数便可， 对应的复杂度就是排序的复杂度。时间复杂度为$O(nlog(n))$, 空间复杂度为$log(n)$

思路1
分治

根据题目对众数的定义， 若是将数组划分为左右两部分，那么数组的众数必然是其中一个部分的众数。

def majorityElement(nums):
    if not nums:
        return 
    
    
    def helper(low, high):
        if low == high:
            return nums[low]
        mid = (low + high) // 2
        
        
        left = helper(low, mid)
        
        right = helper(mid, high)
        
        if left == right:
            return left
        
        # 统计左半部分的众数出现次数
        cnt_left = sum([1 for i in range(low, high+1) if nums[i] == left])
        
        # 统计右半部分的众数出现次数
        cnt_right = sum([1 for i in range(low, high+1) if nums[i] == right])
        
        #
        return left if cnt_left > cnt_right else riht
    
    return helper(0, len(nums)-1)

时间复杂度为$O(nlog(n))$, 空间复杂度为$O(log(n))$

思路2

投票

维护一个众数得分， 只有当当前众数的得分等于0时， 修改众数

def majorityElement(nums):
    if not nums:
        return 
        
    score = 1
    candidate = nums[0]
    for n in nums[1:]:
        if score == 0:
           candidate = n
        
        if n == candidate:
            score += 1
        else:
            score -= 1
            
    return candidate

时间复杂度为$O(n)$, 空间复杂度为$O(1)$