平衡二叉树

目录

• 1、什么是平衡二叉树
• 2、平衡二叉树的高度能达到\(log_2n\)吗？
• 3、平衡二叉树的调整
  • 3.1 右单旋
  • 3.2 左单旋
  • 3.3 左-右双旋
  • 3.4 右-左双旋
  • 3.5 完善平衡二叉树

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1、什么是平衡二叉树

例：搜索树结点不一样插入次序，将致使不一样的深度和平均查找长度ASL

上图为按照天然月份序列构建的搜索树，它的ASL为\((1+2*2+3*3+4*3+5*2+6*1)/12=3.5\)

上图为按照平衡二叉树构建的搜索树，它的ASL为\(3.0\)

上图为按照月份字符串大小顺序构建的搜索树，他的ASL为\(6.5\)

“平衡因子”（Balance Factor，简称BF）： \(BF(T) = h_L - h_R\)，其中\(h_L\)和\(h_R\)分别为T的左、右子树的高度。

平衡二叉树（Balanced Binary Tree）（AVL树）：空树，或者任一结点左、右子树高度差的绝对值不超过1，即\(BF(T)|\leq{1}\)

2、平衡二叉树的高度能达到\(log_2n\)吗？

以下图所示为彻底二叉树的高度计算：

设\(n_h\)为高度为h的平衡二叉树的最少结点数。结点数最少时，咱们能够得知左（右）子树最多比右（左）子树多一个结点：

上述公式相似于斐波那契序列： \(F_0=1，F_1=1，F_i=F_{i-1}+F_{i-2}\quad{f}or\quad{i}>1\)，即咱们能够经过斐波那契的规律，来探讨平衡二叉树的高度计算。

设\(n_h\)是高度为h的平衡二叉树的最小结点数，有以下推导：

按照上图的推导，咱们能够得出：给定结点数为n的AVL树的最大高度为\(O(log_2n)\)

3、平衡二叉树的调整

3.1 右单旋

不平衡的“发现者”是Mar，“麻烦结点”Nov在发现者右子树的右边，于是叫作RR插入，须要RR旋转（右单旋）

3.2 左单旋

“发现者”是Mar，“麻烦结点”Apr在发现者左子树的左边，于是叫LL插入，须要LL旋转（左单旋）

3.3 左-右双旋

“发现者”是May，“麻烦结点”Jan在左子树的右边，于是叫LR插入，须要LR旋转

3.4 右-左双旋

“发现者”是Aug，“麻烦结点”是Feb在右子树的左边，于是叫RL插入，须要LR旋转

3.5 完善平衡二叉树

接下来咱们使用上述所说的四种方法，完善咱们的平衡二叉树。

调整后的结果为：