牛客小白月赛12 F 华华开始学信息学 （分块+树状数组）

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来源：牛客网

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64bit IO Format: %lld

题目描述

由于上次在月月面前丢人了，因此华华决定开始学信息学。十分钟后，他就开始学树状数组了。这是一道树状数组的入门题：

给定一个长度为N的序列A，全部元素初值为0。接下来有M次操做或询问：
操做：输入格式：1 D K，将 ADAD加上K。
询问：输入格式：2 L R，询问区间和，即∑Ri=LAi∑i=LRAi。

华华很快就学会了树状数组并经过了这道题。月月也很喜欢树状数组，因而给华华出了一道进阶题：
给定一个长度为N的序列A，全部元素初值为0。接下来有M次操做或询问：
操做：输入格式：1 D K，对于全部知足 1≤i≤N1≤i≤N且i≡0(modD)i≡0(modD)的i，将AiAi加上K。
询问：输入格式：2 L R，询问区间和，即∑Ri=LAi∑i=LRAi。
华华是个newbie，怎么可能会这样的题？不过你应该会吧。

输入描述:

第一行两个正整数N、M表示序列的长度和操做询问的总次数。
接下来M行每行三个正整数，表示一个操做或询问。

输出描述:

对于每一个询问，输出一个非负整数表示答案。

示例1

输入

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10 6
1 1 1
2 4 6
1 3 2
2 5 7
1 6 10
2 1 10

输出

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3
5
26

备注:

1≤N,M≤1051≤N,M≤105，1≤D≤N1≤D≤N，1≤L≤R≤N1≤L≤R≤N，1≤K≤1081≤K≤108


解题思路：首先对于询问区间和咱们能够很容易想到须要创建一个树状数组，可是对于更新操做却有点棘手，对于全部知足1≤i≤N且i≡0(modD)的i，将Ai加上K，即须要使下标为D的倍数的数加上a[i],而这些数基本遍及整个区间[1,n]，特别是当D很小时，复杂度越高。
可是咱们能够发现对于D比较小的状况，这类状况也比较有限。好比当D大于sqrt(n)时，咱们所要更新的数字的个数也最多也不超过sqrt(n),而对于这部分数据咱们能够直接暴力更新就行了，而当D小于等于sqrt(n),咱们能够用一个标记数组lazy[D]累计起来，标记
lazy[D]+=k,这样咱们就至关于把区间[1,n]的任意下标x若是x<sqrt(n)把其和其在区间中的倍数当作一个块，当咱们查询区间和sum[l,r]时咱们即可以用当前区间和（使用树状数组ask(r)-ask(l-1)），加上各个块在该区间的个数(r-l+1)乘以该块的标记值(lazy数组值)。
例如：
n=12
下标： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
值： 2 1 7 14 6 4 1 7 10 3 7 9

块数目sqrt(n)=3
把下标为1的倍数当作是一块，即下标为1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12的数
把下标为2的倍数也当作是一块，即下标为 2 4 6 8 10 12的这几个数
把下标为3的倍数也当作是一块，即下标为3 6 9 12的这几个数
当D的值大于3时，如D=5，k=1，咱们就直接暴力更新各个值更新下标为5的值和下标为10的值变成：
下标： 1   2   3   4   5   6   7   8  9   10  11   12
值：   2   1   7  14   7  4   1   7  10   4   7   9
而当D=2，k=1时，咱们选择不更新数组，而是直接用lazy数组标记，使得lazy[2]+=1，它表示的是2的倍数这一整块数都须要加上1
而后当咱们询问区间和时，如询问区间[3,10]的和时，咱们先用树状数组求数组在该区间的和sum=7+14+7+4+1+7+10+4=54；
而后咱们遍历每个块，看是否含有标记值，若是有，则加上该块的标记值*该块在查询区间内的我的。
在例子中，lazy[1]为0（1的倍数并未被标记），表示无标记，则跳过；
当遍历到2的倍数这一块时，由于lazy[i]=1含有值，因此咱们须要使sum+=lazy[2]+(10/2-3/2)(其中10/2-3/2表示区间[3,10]中2的倍数的个数)
而当遍历到3的倍数时，由于lazy[3]=0因此也会跳过，这样咱们便得出告终果。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; typedef long long ll; const int maxn=1e6; int n,m; ll sum[maxn],lazy[maxn]; int lowbit(int x){return x&(-x);} void add(int x,ll val){ for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) sum[i]+=val; } ll ask(int x){ ll res=0; for(int i=x;i;i-=lowbit(i)) res+=sum[i]; return res; } int main(){ scanf("%d%d",&n,&m); int block=sqrt(n); while(m--){ int id,x,y; scanf("%d%d%d",&id,&x,&y); if(id==1){ if(x>block) for(int i=x;i<=n;i+=x)add(i,y);  //想较大，暴力更新下标为x的倍数的值
            else lazy[x]+=y;  //x值较小，用数组标记x的倍数这个块
 } else{ ll ans=ask(y)-ask(x-1); for(int i=1;i<=block;i++) if(lazy[i])  //若是这个块有标记值，加上该标记值
                    ans+=(y/i-(x-1)/i)*lazy[i]; printf("%lld\n",ans); } } return 0; }