tarjan初探&&Luogu P2341

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标签： $tarjan$tarjan求强联通分量

何为强联通分量

有向图强连通分量：在有向图 $G$G中，如果两个顶点 $V_i,V_j$Vi​,Vj​间（ $V_i>V_j$Vi​>Vj​）有一条从 $V_i$Vi​到 $V_j$Vj​的有向路径，同时还有一条从 $V_i$Vi​到 $V_j$Vj​的有向路径，则称两个顶点强连通。如果有向图 $G$G的每两个顶点都强连通，称 $G$G是一个强连通图。有向图的极大强连通子图，称为强连通分量。 ——百度百科

事实上，你大概可以理解为：如果一个图的子图中，任意两点可以相互到达，那么这就组成了一个强联通分量。

如果还不理解怎么办？没关系，我们上图像来理解

如图，在这个有向图中，一共有 $\{1,2,3,4\},\{5\},\{6\}${1,2,3,4},{5},{6}三个强联通分量

如何求强联通分量

我们需要两个非常重要的数组，在这里先说明一下

$1.dfn$1.dfn，表示这个点在 $dfs$dfs时是第几个被搜到的。

$2.low$2.low，表示这个点以及其子孙节点连的所有点中 $dfn$dfn最小的值

$3.stack$3.stack，表示当前所有可能能构成是强连通分量的点。

$4.vis$4.vis，表示一个点是否在 $stack$stack数组中。

我们使用 $tarjan$tarjan的方法
(1)、首先初始化 $dfn[u]=low[u]=$dfn[u]=low[u]=第几个被 $dfs$dfs到

(2)、将 $u$u存入 $stack[ ]$stack[]中，并将 $vis[u]$vis[u]设为 $true$true

(3)、遍历 $u$u的每一个能到的点，如果这个点 $dfn[ ]$dfn[]为 $0$0，即仍未访问过，那么就对点 $v$v进行 $dfs$dfs，然后 $low[u]=min\{low[u],low[v]\}$low[u]=min{low[u],low[v]}

(4)、假设我们已经 $dfs$dfs完了 $u$u的所有的子树那么之后无论我们再怎么 $dfs$dfs， $u$u点的 $low$low值已经不会再变了。

至此， $tarjan$tarjan完美结束

那么如果 $dfn[u]=low[u]$dfn[u]=low[u]这说明了什么呢？

再结合一下 $dfn$dfn和 $low$low的定义来看看吧

$dfn$dfn表示 $u$u点被 $dfs$dfs到的时间， $low$low表示 $u$u和 $u$u所有的子树所能到达的点中 $dfn$dfn最小的。

这说明了 $u$u点及 $u$u点之下的所有子节点没有边是指向u的祖先的了，即我们之前说的 $u$u点与它的子孙节点构成了一个最大的强连通图即强连通分量

此时我们得到了一个强连通分量，把所有的u点以后压入栈中的点和u点一并弹出，将它们的 $vis[ ]$vis[]置为 $false$false，如有需要也可以给它们打上相同标记（同一个数字）

---

$Q:$Q: $dfn$dfn可以理解，但为什么 $low$low也要这么做呢？

$A:$A:因为low的定义如上，也就是说如果没有子孙与u的祖先相连的话， $dfn[u]$dfn[u]一定是它和它的所有子孙中 $dfn$dfn最小的（因为它的所有子孙一定比他后搜到）。

$Q:$Q: $stack[]$stack[]有什么用？

$A:$A:如果 $u$u在 $stack$stack中， $u$u之后的所有点在 $u$u被回溯到时 $u$u和栈中所有在它之后的点都构成强连通分量。

$Q:$Q: $low[ ]$low[]有什么用？

$A:$A:应该能看出来吧，就是记录一个点它最大能连通到哪个祖先节点（当然包括自己）

如果遍历到的这个点已经被遍历到了，那么看它当前有没有在 $stack[ ]$stack[]里,如果有那么 $low[u]=min\{low[u],low[v]\}$low[u]=min{low[u],low[v]}

如果已经被弹掉了，说明无论如何这个点也不能与 $u$u构成强连通分量，因为它不能到达 $u$u

如果还在栈里，说明这个点肯定能到达 $u$u，同样 $u$u能到达他，他俩强联通。

接下来，就是非 $(sang)$(sang)常 $(xin)$(xin)简 $(bing)$(bing)单 $(kuang)$(kuang)的手 $\%$%过程了

从节点 $1$1开始 $DFS$DFS，把遍历到的节点加入栈中。搜索到节点 $u=6$u=6时， $DFN[6]=LOW[6]$DFN[6]=LOW[6]，找到了一个强连通分量。退栈到 $u=v$u=v为止， $\{6\}${6}为一个强连通分量。

之后返回节点 $5$5,发现 $DFN[5]=LOW[5]$DFN[5]=LOW[5]，于是我们又找到了一个新的强联通分量 $\{5\}${5}

返回节点 $3$3，继续搜索到节点 $4$4，把 $4$4加入堆栈。发现节点 $4$4向节点 $1$1有后向边，节点 $1$1还在栈中，所以 $LOW[4]=1$LOW[4]=1。节点 $6$6已经出栈， $(4,6)$(4,6)是横叉边，返回 $3$3， $(3,4)$(3,4)为树枝边，所以 $LOW[3]=LOW[4]=1$LOW[3]=LOW[4]=1。

继续回到节点 $1$1，最后访问节点 $2$2。访问边 $(2,4)$(2,4)， $4$4还在栈中，所以 $LOW[2]=DFN[4]=5$LOW[2]=DFN[4]=5。返回 $1$1后，发现 $DFN[1]=LOW[1]$DFN[1]=LOW[1]，把栈中节点全部取出，组成一个连通分量 $\{1,3,4,2\}${1,3,4,2}。

至此， $tarjan$tarjan算法结束，我们找到了全部的 $3$3个强联通分量 $\{1,2,3,4\},\{5\},\{6\}${1,2,3,4},{5},{6}

程序实现代码如下

inline int tarjan(int u) 
{
	low[u]=dfn[u]=++dfn_sum;
	stack[top++]=u;
	for(int i=head[u];i;i=e[i].next)
	{
		int v=e[i].to;
		if(dfn(v))
			low[u]=min(low[u],dfn[v]);
		else
		{
			tarjan(v);
			low[u]=min(low[u],low[v]);
		}
	}
	if(low[u]==dfn[u])
	{
		int now=stack[--top];s_sum++;
		s[u]+=s_sum;
		while(now!=u)
		{
			s[now]=s_num;
			now=s[--top];
		}
	}
}

所以，我们再来分析一下这道题。

首先，不难发现，如果这所有的牛都存在同一个强联通分量里。那么它们一定互相受欢迎。

那么，我们怎么来找明星呢。

很简单，找出度为 $0$0的强联通分量中的点。这样可以保证所有的人都喜欢它，但是它不喜欢任何人，所以说不存在还有人事明星。

此题还有一个特殊情况：

如果有两个点分别满足出度为零的条件，则没有明星，这样无法满足所有的牛喜欢他。

有了上边的解释，题目就不是那么难了，代码如下

#include<bits/stdc++.h>
#define ri register int
using namespace std;
const int maxn=1e4+5;
const int maxm=5e4+5;
int to[maxm],nex[maxm],fir[maxn];
int col,num,dfn[maxn],low[maxn],de[maxn],si[maxn];
int tot=0,co[maxn],n,m;
int top,st[maxn];
template<class T> inline void read(T &x)
{
    x=0;
    register char c=getchar();
    register bool f=0;
    while (!isdigit(c)) f ^=c=='-',c=getchar();
 	while (isdigit(c)) x=x*10+c-'0',c=getchar();
    if(f)x=-x;
}
template <class T> inline void print(T x)
{
    if(x<0)putchar('-'),x=-x;
    if(x>9)print(x/10);
    putchar('0'+x%10);
}
inline void ins(int x,int y)
{
    to[++tot]=y;
    nex[tot]=fir[x];
    fir[x]=tot;
}
void Tarjan(int u)
{
    dfn[u]=low[u]=++num;
    st[++top]=u;
    for(int i=fir[u];i;i=nex[i])
    {
        int v=to[i];
        if(!dfn[v])
        {
            Tarjan(v);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
        }
        else if(!co[v])low[u]=min(low[u],dfn[v]);
    }
    if(low[u]==dfn[u])
    {
        co[u]=++col;
        ++si[col];
        while(st[top]!=u)
        {
            ++si[col];
            co[st[top]]=col;
            --top;
        }
        --top;
    }
}
int main()
{
    int x,y;
    read(n);read(m);
    for(ri i=1;i<=m;i++)
    {
        read(x);read(y);
        ins(y,x);
    }
    for(ri i=1;i<=n;i++)
        if(!dfn[i])Tarjan(i);
    for(ri i=1;i<=n;i++)
        for(ri j=fir[i];j;j=nex[j])
            if(co[i]!=co[to[j]])de[co[to[j]]]++;
    int ans=0,u=0;
    for(ri i=1;i<=col;i++)if(!de[i])ans=si[i],u++;
    if(u==1)print(ans);
     else print(0);
 	return 0;
}