【uoj428】普通的计数题

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Solution

　　不会胖子的一个log正解qwq只能怂怂滴写分治了qwq

​　　首先就是一个我想不到的转化qwq

​　　咱们将第\(i\)次操做加入的数当作一个编号为\(i\)的节点的权值，而且把操做\(2\)中删除的节点当作\(i\)号点的儿子，那么整个操做序列对应一个树结构，而且知足父亲的编号大于儿子，特别的，原来的\(0\)对应了叶子节点，\(1\)对应了非叶子节点，那么原题中的限制就变成了：当某个节点的儿子都是叶子的时候，它的儿子个数在\(B\)集合中，不然叶子儿子的个数在\(A\)集合中

​　　而后为了方便一块儿处理，咱们强行把\(0\)丢到\(B\)集合中，这样叶子节点也知足条件了

​　　因而乎咱们就能够dp了：记\(f[i]\)表示\(i\)个节点的知足条件的有根树个数，\(g[i]\)表示\(i\)个节点的知足条件的森林个数，而且森林中每棵树的节点个数很多于\(2\)，那么dp的转移方程为：
\[ \begin{aligned} g[i]&=f[i]+\sum\limits_{j=2}^{i-1}g[i-j]\cdot f[j]\binom{i-1}{j-1}\\ f[i]&=[i-1\in B]+\sum\limits_{j=0}^{i-2}[j\in A]\binom{i-1}{j}g[i-1-j] \end{aligned} \]
​　　具体一点的话就是，\(g\)的转移方程中\(j\)枚举的是第\(i\)个点所在树的大小，而后要从前面\(i-1\)个点里面选\(j-1\)个出来和\(i\)号点组成一棵树；\(f\)的转移方程中前半部分是全部的儿子都是叶子的状况，后半部分是枚举叶子儿子的个数，而后\(g[i-1-j]\)表示的是剩下的非叶子儿子有多少种不一样的方案

　　接下来正解对这个东西进行一些高级处理而后用牛顿迭代去搞了qwq

​　　然而我并不会因此就用分治

​　　注意到上面的式子其实已经能够直接分治ntt了，把组合数拆一下而后按套路写就行了

　　须要注意的事情是：由于这里计算的\(g\)转移跟本身有关，因此在分治完以后卷积算左边对右边贡献的时候，可能会遇到须要用到的\(g\)尚未算出来（或者是须要用到的\(f\)）的状况，卷积的时候就不会把贡献算进去了，因此这个时候，若是说咱们当前的分治区间的左端点不是\(1\)，那么就有可能包含了某个由于还没被算出来而致使贡献漏算的\(g\)或者\(f\)，因此咱们应该作两次ntt，把漏算的贡献加回去

​　　其实大概就是这样的状况：

​　　而后实现上就是。。当前分治区间的\(l\neq 1\)时，计算\(g\)的时候，枚举\(g\)的下标在左半边，作一次卷积；再枚举\(f\)的下标在左半边，作一次卷积，顺序的话其实也会有一点影响，\(g\)下标在左半边的那次卷积必需要保证用到的是尚未更新过右半边的\(f\)，不然就会重复计算一些贡献

​　　计算\(f\)的话由于并无与本身有关，因此直接算就行了不须要考虑那么多

​　　一个小trick：注意到算\(g\)的时候咱们的\(j\)是从\(2\)开始枚举的，为了方便咱们能够强行先令\(f[1]=0\)而后分治ntt，最后再把\(f[1]\)的值赋回去，这样就中间写的时候就能够比较无脑了

​　　而后就十分愉快地作完了ovo（虽说是\(O(nlog^2n)\)作法qwq）

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
const int N=114514+10,MOD=998244353;
int fac[N],invfac[N];
int inA[N],inB[N];
int f[N],g[N];
int n,m,lena,lenb;
int plu(int x,int y){return (1LL*x+y)-(1LL*x+y>=MOD?MOD:0);}
int mul(int x,int y){return 1LL*x*y%MOD;}
int ksm(int x,int y){
    int ret=1,base=x;
    for (;y;y>>=1,base=mul(base,base))
        if (y&1) ret=mul(ret,base);
    return ret;
}
namespace NTT{/*{{{*/
    const int N=(1<<18)+10,TOP=18,G=3;
    int A[N],B[N],W[N][2],rev[N];
    int len,invlen,invg;
    void prework(){
        invg=ksm(G,MOD-2);
        for (int i=1;i<=TOP;++i){
            W[1<<i][0]=ksm(G,(MOD-1)/(1<<i));
            W[1<<i][1]=ksm(invg,(MOD-1)/(1<<i));
        }
    }
    void get_len(int n){
        for (int i=0;i<len;++i) A[i]=B[i]=0;
        int bit=0;
        for (len=1;len<=n;len<<=1,++bit);
        rev[0]=0;
        for (int i=1;i<len;++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
        invlen=ksm(len,MOD-2);
    }
    void ntt(int *a,int op){
        int w,w_n,u,v;
        for (int i=0;i<len;++i) 
            if (rev[i]>i) swap(a[i],a[rev[i]]);
        for (int step=2;step<=len;step<<=1){
            w_n=W[step][op==-1];
            for (int st=0;st<len;st+=step){
                w=1;
                for (int i=0;i<(step>>1);++i){
                    v=mul(a[st+i+(step>>1)],w);
                    u=a[st+i];
                    a[st+i]=plu(u,v);
                    a[st+i+(step>>1)]=plu(u,MOD-v);
                    w=mul(w,w_n);
                }
            }
        }
        if (op==1) return;
        for (int i=0;i<len;++i) a[i]=mul(a[i],invlen);
    }
    void calc(){
        ntt(A,1);
        ntt(B,1);
        for (int i=0;i<len;++i) A[i]=mul(A[i],B[i]);
        ntt(A,-1);
    }
}/*}}}*/
void calc(int l,int r){
    int mid=l+r>>1,len=r-l+1,lenl=mid-l+1,lenr=r-mid;
    NTT::get_len(lenl+len);
    for (int i=l;i<=mid;++i) NTT::A[i-l]=mul(g[i],invfac[i]);
    for (int i=0;i<r-l;++i) NTT::B[i]=mul(inA[i],invfac[i]);
    NTT::calc();
    for (int i=mid+1;i<=r;++i) f[i]=plu(f[i],NTT::A[i-l-1]);//f has been updated

    NTT::get_len(lenl+len);
    for (int i=l;i<=mid;++i) NTT::A[i-l]=mul(f[i],invfac[i-1]);
    for (int i=1;i<=r-l;++i) NTT::B[i-1]=mul(g[i],invfac[i]);//should use the one which hasn't been updated
    NTT::calc();
    for (int i=mid+1;i<=r;++i) g[i]=plu(g[i],NTT::A[i-l-1]);

    if (l==1) return;
    NTT::get_len(lenl+len);
    for (int i=l;i<=mid;++i) NTT::A[i-l]=mul(g[i],invfac[i]);
    for (int i=1;i<=r-l;++i) NTT::B[i-1]=mul(f[i],invfac[i-1]);
    NTT::calc();
    for (int i=mid+1;i<=r;++i) g[i]=plu(g[i],NTT::A[i-l-1]);
}
void solve(int l,int r){
    if (l==r){
        if (l>1) //let f[1]=0 first: can't take f[1] into account during the dp
            f[l]=plu(inB[l-1],mul(f[l],fac[l-1]));
        g[l]=plu(f[l],mul(g[l],fac[l-1]));
        return;
    }
    int mid=l+r>>1;
    solve(l,mid);
    calc(l,r);
    solve(mid+1,r);
}
void prework(int n){
    fac[0]=1;
    for (int i=1;i<=n;++i) fac[i]=mul(fac[i-1],i);
    invfac[n]=ksm(fac[n],MOD-2);
    for (int i=n-1;i>=0;--i) invfac[i]=mul(invfac[i+1],i+1);
}

int main(){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("a.in","r",stdin);
#endif
    int x;
    NTT::prework();
    scanf("%d%d%d",&n,&lena,&lenb);
    for (int i=1;i<=lena;++i) scanf("%d",&x),inA[x]=1;
    for (int i=1;i<=lenb;++i) scanf("%d",&x),inB[x]=1;
    inB[0]=1;
    prework(n);
    g[0]=1;
    solve(1,n);
    f[1]=1;
    printf("%d\n",f[n]);

    /*g[0]=1; f[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;++i){
        g[i]=0; f[i]=0;
        for (int j=2;j<=i;++j)
            g[i]=plu(g[i],mul(f[j],mul(invfac[j-1],mul(g[i-j],invfac[i-j]))));
        g[i]=mul(g[i],fac[i-1]);
        for (int j=0;j<=i-2;++j)
            f[i]=plu(f[i],mul(inA[j],mul(invfac[j],mul(g[i-1-j],invfac[i-1-j]))));
        f[i]=plu(mul(f[i],fac[i-1]),inB[i-1]);
        g[i]=plu(g[i],f[i]);
    }
    printf("%d\n",f[n]);*/
}