最小生成树的一些证实

转自：关于最小生成树的一些理解

（1）       定义在一棵树里添加一条边，并在产生的圈里删除一条边叫作一次操做。（也就是说换掉一条边而且保证结果是树），则树A和B是无向图的两个生成树，则A能够经过若干次操做变成B。

证：把树看做边的集合，若是B中有一条A没有的边，则把这条边加到A上，A产生一个圈中至少有一条是B中没有的边，把这条边删掉，则A仍然是生成树，A,B集合相同的边多了一条，重复这个过程直到A B包含的边相同。

 

注：这个命题比较容易证，它告诉咱们任何两棵生成树均可以经过不断换边获得。（重要的是换边的过程当中始终保持是树。）

“能够经过若干次操做”，这个“能够”并无“特殊”的含义，也就是说咱们能够随便加一条B有而A没有的边，总能够找到一条合适的边删掉。

 

（2）       把一个连通无向图的生成树边按权值递增排序，称排好序的边权列表为有序边权列表，则任意两棵最小生成树的有序边权列表是相同的。（算法导论23.1-8）

 

证：设最小生成树有n条边，任意两棵最小生成树分别称为A, B, 若是e是一条边，用w(e)表示该边的权值。

A的边按权值递增排序后为a₁, a₂,……a_n   w(a₁)≤w(a₂)≤……w(a_n)

B的边按权值递增排序后为b₁, b₂,……b_n  w(b₁)≤w(b₂)≤……w(b_n)

设i是两个边列表中，第一次出现不一样边的位置，a_i≠b_i

不妨设w(a_i)≥w(b_i)

情形1  若是树A中包含边b_i，则必定有j>i使得  b_i=a_j ,事实上,这时有 w(b_i)=w(a_j)≥w(a_i) ≥w(b_i) 故 w(b_i)=w(a_j)=w(a_i)，在树A的边列表中交换边a_i和 a_j的位置并不会影响树A的边权有序列表，两棵树在第i个位置的边变成同一条边。

 

情形2  树A中并不包含边b_i，则把b_i加到树A上，造成一个圈，因为A是最小生成树，这个圈里任意一条边的权值都不大于w(b_i) ，另外，这个圈里存在边a_j不在树B中。所以，有w(a_j)≤w(b_i)，且j>i (由于a_j不在B中)。因而，有w(b_i)≤w(a_i)≤w(a_j)≤w(b_i)，所以

w(a_i)= w(a_j) = w(b_i)。那么在树A中把a_j换成b_i仍然保持它是一棵最小生成树，并不会影响树A的边权有序列表，而且转换成情形1。

 

注：这个命题说明，若是无向图的边权都不相同，则最小生成树是惟一的。可是其逆命题不成立。即若是无向图的最小生成树惟一，则无向图的边权是可能有相同的。例子，好比原图自己就是一棵树，而且有两条边的边权相等。

 

（3）       A,B是同一个无向连通图的两棵不一样的最小生成树，则A能够经过若干次（1）中定义的换边操做，而且保证每次结果仍然是最小生成树，最终转换成B。

 

证：作法和（2）相似，也是要找一条树B有可是树A没有的边。事实上（2）的证实过程“情形2”的部分，就已经找到这样一条边了。按照（2）中给出的方法，就能够把A转换成B。

注：上述证实过程证得了和（1）中相似的结论，可是此时的“能够”暂时有“特殊”的含义，至少证实中须要以必定的规则选边。这显得有点不“美观”。那么，是否能够任意选边呢？考虑任意选边形成的“后果”：把任意一条B有而A没有的边加入到A，因为A是最小生成树，因此造成的圈里全部的边的权值都不大于新加的边，那么若是这个圈里没有其余的这种权值的边，换句话说，若是这个圈里的这条边是惟一权值最大的边怎么办呢？或者，若是这个圈里全部和这条边权值相等的边都也在B中，那么该如何保证换边后，A和B相同的边数增多一条呢？下面证实，这些状况不可能出现。

 

（4）       一个连通无向图G,不会有一棵最小生成树包含G的一个圈中所有最大权值的边。

 

证：设图的节点集合是V。反证，假设有一棵最小生成树T包含G中某个圈的所有权值最大的边，设其中一条边是e, 则在树中删掉边e，T-e是不连通的，它把节点分红了两部分（连通份量），A和B=V-A。在原图G中，这条边在一个圈C里，且在C中权值是最大的。则(C-e)是G中一条路，这条路中有节点在A中，也有节点在B中，所以必然有一条边e’，它一端在A中，一端在B中,显然它不在T-e中。因而把e’加入到T-e中，这样造成的是一棵树T’。（|V|-1条边的连通图显然是树），而因为w(e’)<w(e)，有w(T’)<w(T)，与T是最小生成树矛盾。

 

注：特别地，若是一个圈中权值最大的边惟一，则最小生成树不包含这条边。

（算法导论上习题23.1-5要证实：若是一条边是一个圈中权值最大的边，必定有一棵最小生成树不包含它。由这个结论能够马上得出。当圈中最大权值的边惟一时，算法导论上这个命题稍弱。）

至此证实了任何两棵不一样的最小生成树A,B，能够随意选一条B有而A没有的边，添加到A上，由（4）的结论，造成的圈里，至少有一条边和这条新加的边权值相同,而且它不在B中，删掉它。这样能够最终把A转化成B。

 

（5）       对于一个连通无向图的生成树，只考虑它的边权，造成的有序边权列表中，最小生成树是有序边权列表字典序最小的。（字典序就是一般的定义，两个序列A,B的字典序相同当且仅当A=B。不然，序列A,B出现最先位置的不相等的元素时，若是序列A的该位置元素更小，则序列A字典序小，反之，则序列B的字典序更小。若是直到一个序列结束都没有这样的位置，则较短的序列字典序小）。

 

证：设A是一棵最小生成树，而B是否是一棵最小生成树。利用(2)的结论，由于任何最小生成树的有序边权列表是相同的，因此能够用Krusal算法产生的最小生成树的有序边权列表。Krusal算法的优势是按边权顺序加边，而且当边权相等时，只要不造成圈，加哪条边均可以造成最小生成树。把B的边都按递增顺序排序：

B的边按权值递增排序后为b₁, b₂,……b_n  w(b₁)≤w(b₂)≤……w(b_n)

用Krusal算法求原图的一棵最小生成树，

具体地，加第i条边时(1≤i≤n),若是对该加的边e，有w(e)=w(b_i),则选择b_i代替e加入。不可能出现w(e)>w(b_i),由于Krusal算法是按边权由小到大考虑加边的，若是出现这种状况，说明，选择b_i加入是不合法的——会造成圈，而此时的图是树B的子图，这与B是树矛盾。

 

注：有了（2）的结论，结合Krusal算法的过程，知道Krusal算法加边的顺序构成的边权列表就是一个有序边权列表。因而，只考虑有序边权列表时，能够用Krusal算法产生的特殊的最小生成树代替任何一棵最小生成树。

 

若是一棵树是最小生成树，则对它采起一次（1）中的操做，显然，它的总权值不减。那么它的逆命题是否是成立？也就是若是说一棵生成树，对它采起一次（1）中的操做后，它的总权值不减，它是不是最小生成树？再换句话说，一棵非最小生成树，是否必定能够找到一条边进行（1）中的操做后，总权值会减少？这个命题看起来是显然的，可是是否有可能一棵非最小生成树当前不管怎样采起（1）中的操做都会形成总权值暂时的增大，而至少要操做两次，才能把权值下降呢？答案是不会的。

 

（6）       一棵树不是最小生成树，则必定存在一个（1）中描述的操做，使得操做以后，它的总权值减少。

 

证：设A不是最小生成树，A的边按权值递增排序后为a₁, a₂,……a_n   w(a₁)≤w(a₂)≤……w(a_n)。利用Krusal算法，加第i条边时(1≤i≤n),若是对该加的边e_i，有w(e_i)=w(a_i),则选择a_i代替e_i加入。直到第j次时(1≤j≤n)，有w(e_j)<w (a_j),则仍加入e_j,自此后仍执行普通的Krusal算法（即任意处理权值相同的边），这样生成的最小生成树E，有w(e_j)<w( a_j) 且对全部1≤i<j有e_i=a_i，因为权值递增关系，e_j不在A中，那考虑把e_j加入到A中造成的圈，圈里其余任意的边a_x,若w(a_x)≤w(e_j)<w (a_j),则有x<j，因而这些边是在第j步以前和Krusal算法同样加入的。所以，圈里至少有一条边a_y知足w(a_y)≥w (a_j)>w(e_j) （y≥j>x）,因而删除a_y可让A的总权值减少。

 

注：可见确实有这样的操做。因而马上得出如下结论：

 

（7）       一棵生成树不是最小生成树，则必定存在（1）中的操做，不断进行把它转换成一棵最小生成树，并且每次操做后权树的总权值都会减少。

 

证：由（6）知，存在一个这样的操做，任选一个这样的操做，总权值会减少。这样不断地进行下去，由于不一样的生成树的个数是有限的，因此总权值不可能一直减少下去，也不可能无限逼近与一个常数，最终可使其变成一棵最小生成树。

 

注：由此可知，这种操做也是“任意”选边的，并无特殊性。若是把一个图的全部生成树看做节点，把对每一个生成树进行一次（1）中定义操做看做造成的树做为它的邻居。

那么综合上述结论：造成的图是个无向连通图。任何“局部最优解”也是“全局最优解”(只进行一次操做不能减少总权值，则是最小生成树，能够随意从任何一个“非最优势”，保持权值减少地逐步达到“最优势“)。

 

（8）       若是一棵生成树，任何边都在某棵最小生成树上，则它不必定是最小生成树。

反例：考虑一个长为2，宽为1的矩形。构造一个无向图，节点就是矩形顶点，边就是矩形的边，边权就是矩形边长。显然，原图有两棵最小生成树（“两宽与一长”），全部边都在某棵最小生成树上，可是有两棵生成树不是最小生成树（“两长与一宽”）。