为何哈希函数要模质数

哈希函数通常都要取模，取模通常都要取质数，那么为何必定要取质数呢？

作以下分析：

概念与公式

设咱们经过哈希函数获得的未取模的值为X，一质数模数为a，非质数模数为b，X对a取模后的结果为Ya，对b取模后的结果为Yb

则有

\[ Y_a\equiv X \pmod a \\ Y_b\equiv X\pmod b \\ c(x \; mod \; y)=(cx)\; mod \; (cy)\\ (a+b)\; mod \; p=(a\; mod\; p+b\; mod\; p)\;mod \;p \]

以上公式与概念均已被证实，是推论的基石

假设全部X随机出现，则有

• 模质数时：
  \[ Y_a \in [0,a-1],均匀分布 \]

• 模合数时：
  \[ Y_b \in [0,b-1],均匀分布 \]

假设X成公差为m的等差数列出现,且m与b存在公因数c，则有

• 模质数时：
  \[ 记首项为X_1,第i项为X_i,第i项取模后获得Y_i,则\\ Y_i=(X_1+(i-1)m)\;mod\;a\\ \qquad\qquad\qquad\quad =(X_1\; mod \; a+((i-1)m)\;mod\;a)\;mod\;a\\ \qquad\quad =(Y_1+k_i)\;mod\;a\quad,k_i\in[0,a-1] \]
  可见仍有
  \[ Y_i\in[0,a-1] \]

• 模合数时：
  \[ Y_i=(X_1+(i-1)m)\;mod\;b\\ \qquad\qquad\qquad\quad =(X_i\; mod \; b+((i-1)m)\;mod\;b)\;mod\;b\\\ \qquad\qquad\qquad\quad=(Y_1+(i-1)(m/c)\;mod\;(b/c))\; mod \;b\\ \qquad\qquad\qquad=(Y_1+k_i)\;mod \;b\quad,k_i\in[0,b/c-1] \]
  可见Yi取值范围缩小到了原来的1/c，即成等差数列的X每隔b/c-1个数据就会出现一次冲突

以上就是公式推导，下面能够用实验证实一下

数据实验

以一组以108为首项，27为公差的等差数列观察，有以下结果:

能够看到，模合数的状况下每隔2项就会发生一次碰撞，而模质数的状况下没有发生碰撞，这样的例子还有不少，读者能够自行枚举实验，相信这个例子已经能够说明问题了

总结

之因此要模质数是由于对于特殊数据合数会发生大量碰撞，而质数能够避免这种状况 以上。