约瑟夫环问题

题目：

n个数字（0,1,…,n-1）造成一个圆圈，从数字0开始，每次从这个圆圈中删除第m个数字（第一个为当前数字自己，第二个为当前数字的下一个数字）。当一个数字删除后，从被删除数字的下一个继续删除第m个数字。求处在这个圆圈中剩下的最后一个数字。

（其实说了这么多就是约瑟夫环问题）

分析：

之前学习链表的时候也见过约瑟夫环问题，当时是拿循环链表模拟整个过程来解决的，今天在网上看到一种分析。记录下来：

    题目要求最后剩下的一个数(用last表示)，也就是这个数是第几个，在（0,1,…,n-1）的位置是多少。明确了题目中的信息，因此咱们要对这个数进行概括。假设知道这个数在剩下的k个数中的位置，怎么来求得它在剩余K+1个数中的位置，这样一步一步推导出它在有n个数中的位置，即为所求。为何能这样概括，由于这个最后剩下的数在全部删除过程当中有幸存活下来，只不过每次删除了一个数，它的位置就变了，知道最后，它的位置为0(只剩一个数了)。

如今来分析删除第一个数后，last这个数的位置已以前有什么样的关系。在这n个数字中，第一个被删除的数字是(m-1)%n，为简单起见记为k。那么删除k以后的剩下n-1的数字为0,1,…,k-1,k+1,…,n-1，而且下一个开始计数的数字是k+1。至关于在剩下的序列中，k+1排到最前面，从而造成序列k+1,…,n-1,0,…k-1。

k+1    ->    0
k+2    ->    1
…
n-1    ->    n-k-2
0       ->    n-k-1
…
k-1   ->   n-2

如今咱们知道了有n-1个数时last的位置，记为f(n-1,m)，那么如何来求得f(n,m)关于f(n-1,m)之间的关系？用X,Y来表示，以下：

Y              X

k+1    ->    0
k+2    ->    1
…
n-1    ->    n-k-2
0       ->     n-k-1
…
k-1    ->    n-2

y=( x+k+1) %n

k = (m-1)%n

因此y=(x+m)%n，最终关系以下：

                0                              n=1
f(n,m)={
                [f(n-1,m)+m]%n     n>1

根据关系能够很方便的获得代码

代码实现以下：

int LastRemaining(int n, int m)
{
    if(n < 1 || m < 1)
        return -1;

    int last = 0;
    for (int i = 2; i <= n; i ++) 
        last = (last + m) % i;

    return last;
}

注：分析部份内容来自互联网