大数运算—大数加法、减法、乘法、除法详解

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前言

你们好，我是bigsai！最近，大数加减频频登上笔试的舞台，小伙伴们在群里也分享本身遇到面试官碰到大数运算的题目，想着这么重要而简单的知识点我还没写过，那得好好和你们一块儿总结一下。

各位有过度类刷题的小伙伴，可能看到不少人分类 字符串、贪心、动态规划、bfs、dfs、大数、数论等，初听大数，你可能会差别：大数是个啥？听起来怪高大上的。

大数，其实就是很大很大数字(可能远超3二、64位，基础类型没法表示)的加减法，在Java中咱们可使用一个大数类(BigInteger等)很容易解决大数的各类运算，但若是遇到面试官他确定会让你手写的。

这个数字通常用字符串、链表等形式表示、返回，大数运算的核心就是：模拟，模拟咱们平常用纸笔算数字的加减乘除流程，而后再根据计算机、编程语言等特性适当存储计算便可，不过，大数除法运算稍微特殊一点，和咱们直接模拟的思惟方式稍有不一样。

大数加法

大数加法是最简单的，简单模拟便可。首先，咱们想一下两个数加法的流程：从右向左计算求和、进位，一直到最后。

在编程语言中一样也是模拟从右向左逐位相加的过程，不过在具体实现上须要注意一些细节。

一、枚举字符串将其转换程char[]提升效率

二、从右往左进行计算，能够将结果放到一个数组中最后组成字符串，也可使用StringBuider拼接，拼接的时候最后要逆置一下顺序。

三、余数每次叠加过须要清零，两数相加若是大于等于10即有余数，添加到结果中该位置的数也应该是该数%10的结果。

四、计算完最后还要看看余数是否为1，若是为1须要将其添加到结果，例如 "991"+"11"算三个位置为002但还有一个余数须要添加，因此应该是1002。

固然在具体实现上方法较多，你能够首先就将字符串逆置而后从前日后就能够计算了。固然我这里实现的是字符串从后向前各个位对应计算，而后将结果顺序添加到StringBuilder上。

这题在力扣【415两数相加】能够检验本身代码，实现代码为：

public String addStrings(String num1, String num2) {
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    int len1=num1.length()-1,len2=num2.length()-1;
    char ch1[]=num1.toCharArray();
    char ch2[]=num2.toCharArray();

    StringBuilder sb=new StringBuilder();
    int remainder =0;//计算余数
    while (len1>=0||len2>=0)
    {
        int n1=len1>=0?(ch1[len1--]-'0'):0;
        int n2=len2>=0?(ch2[len2--]-'0'):0;
        int num=n1+n2+remainder;//求和对应数字
        remainder=num/10;//是否进位
        sb.append(num%10);// 添加到结果字符串中
    }

    if(remainder>0)//是否还须要进位
    {
        sb.append(remainder);
    }
    //反装即为结果
    return sb.reverse().toString();
}

大数减法

加法对应的就是减法，有了上面大数加法的实现思路，那么我想你在大数减法也应该有点想法，可是减法和加法不一样的是减法有位置的区别，加法须要进位而减法须要借位。而且大整正数减法可能产生正负也不必定。

两个正数，若是大数减去小数，那么一切正常，结果是一个正数；但若是小数减去大数，那么结果将是一个负数，而且结果处理起来比较麻烦。 因此在这里所有转成大-小处理(大-小不存在不能借位的状况)。

一、执行计算前首先比较减数(num1)和被减数(num2)的大小，若是num1>num2,那么就模拟num1-num2的过程，若是num1<num2，那么结果就为-(num2-num1) 。固然能够为了稳定模拟时候一个大一个小，可将num1始终指向较大的那个数，少写一个if/else.

二、在比较两个数字大小的时候，由于是字符形式，首先比较两个字符串的长度，长的那个更大短的那个更小，若是两个字符串等大，那么就能够经过字典序从前日后进行比较(Java可直接使用compareTo方法)。

三、和加法不一样的是，减法前面可能产生若干前缀0，这些0是须要你去掉的，例如"1100"-"1000"计算获得的结果位"0100",你就要吧前面的0去掉返回"100"。

四、具体实现的时候和加法类似，若是使用StringBuilder存储，须要逆置顺序，若是是个负数，前面还要加上'-'.

五、每一个位置正常进行减法运算，若是值小于0，那么就须要向上借位(+10),那么处理上一位进行减法时候还要将借位的处理一下。

这题在力扣上没有原题，可是能够在小米OJ【大数相减】上验证本身代码的正确性，具体实现的代码为：

public static boolean compare(String num1,String num2)
{
    if(num1.length()<num2.length())
        return  false;
    else if(num1.length()>num2.length())
        return true;
    else
        return num1.compareTo(num2)>0;
}
public static  String subtractString(String num1,String num2) {
    char sign='+';//正负号
    //让num1>num2 若是num1<num2 那么结果就是—(num2-num1) 
    //能够先将num1和num2交换和前面状况统一
    if(!compare(num1,num2))
    {
        sign='-';
        String team = num2;
        num2 = num1;
        num1 = team;
    }
    int len1=num1.length()-1;
    int len2=num2.length()-1;

    char ch1[] = num1.toCharArray();
    char ch2[] = num2.toCharArray();
    StringBuilder sb=new StringBuilder();
    int borrow=0;//借位
    while (len1>=0||len2>=0)
    {
        int n1=len1>=0?(ch1[len1--]-'0'):0;
        int n2=len2>=0?(ch2[len2--]-'0'):0;

        int num=n1-n2-borrow;
        borrow=0;
        if(num<0)//须要向前借位
        {
            borrow=1;
            num+=10;
        }
        sb.append(num);
    }

    sb=sb.reverse();//须要先翻转
    int index = 0;//去掉前面没用的’0‘
    while (index<sb.length()&&sb.charAt(index) == '0')
    {
        index++;
    }
    //若是两个数相同 直接返回"0"
    if(index==sb.length())
        return "0";
    if(sign=='+')//若是正数 
        return  sb.substring(index);
    else  return sign+sb.substring(index);//负数须要返回
}

大数乘法

大数乘法乍一想可能比较复杂，由于乘法比起加法可能进位不光是1，还有两个数各类位置都须要相乘计算，这时候就须要咱们化繁为简了。

多*多考虑起来可能有些麻烦，可是若是多*一考虑起来呢？若是是多位乘以一位数，那么就拿一位的分别乘以多位数的个位、十位、百位，在计算的同时考虑一下进位的状况。

可是也能够先直接用int类型数组存储各位的乘积而后从右向左进行进位，以下图所示。

而多*多 也是这个道理，将不一样位乘积先叠加到对应位置上，而后从右向左进位，一直到不须要进位为止。

你可能会疑问，若是两个数组的长度分别为a和b这个数组到底该开多大呢？

• a+b大小就够了，怎么分析呢？其中一个a不变。另外一个b变成最小b+1数字即十的倍数，那么这样在相乘的时候也不过是a+b长度，因此这里a+b长度就够了。

这题有力扣对应题能够去试试【43字符串相乘】，具体代码位：

public String multiply(String num1, String num2) {
    if("0".equals(num1)||"0".equals(num2))return "0";
    char a[]=num1.toCharArray();
    char b[]=num2.toCharArray();
    
    int value[]=new int[a.length+b.length];
    
    for(int i=a.length-1;i>=0;i--)
    {
        for(int j=b.length-1;j>=0;j--)
        {
            int index=a.length-1-i+b.length-1-j;
            value[index]+=(a[i]-'0')*(b[j]-'0');
        }
    }
    for(int i=0;i<value.length-1;i++)
    {
        value[i+1]+=value[i]/10;
        value[i]=value[i]%10;
    }
    int index=value.length-1;
    while(value[index]==0)
    {index--;}
    StringBuilder sBuilder=new StringBuilder();
    while (index>=0) {
        sBuilder.append(value[index--]);
    }
    return sBuilder.toString();
}

大数除法

大数加减乘都搞定了，经过模拟来实现，可是大数除法也经过模拟来实现？

并非，对于大数a/b，通常最多要求求到其整数解或者余数，即a/b=c……d（a,b,c,d均为整）;也就是a里面有c个b，而且还剩下d。核心是先求c是多少，对于程序来讲，能够经过枚举啊，将除法变成减法，从a中不断减d，一直到不能减为止。

可是有个问题，若是被除数a很大很大，可能有居多个b，那么这样时间复杂度过高了，不可能执行那么屡次，那么须要怎么样去优化这个方法呢？

那就要加速寻找次数，减小这个减法的次数了，减法次数减少的一个最好方案就是能不能扩大除数b。若是b后面加个'0'，那么算出来的结果就乘以10，减法的次数变成原来十分之一。根据这个思想咱们能够一直每次找到b的最大10的倍数(小于a)计算减的次数再换算成减b的总词数，将结果要以字符串方式保留，后面一直迭代到最后为止,这虽然是一道除法运算的题，可是也蕴涵减法和加法(次数叠加到结果中)。

固然，也有一些人使用二分法来压缩寻找能够被减的次数也是能够的(加法能够迭代数字实现二分倍数)，具体实现的话也不是很困难，可是代码量可能比较多因此通常的面试笔试不会让你现场写的，因此好好掌握前面的减法、减法、乘法的代码便可。

固然，若是你依然很想看大数除法部分的代码，能够百度搜一下或者在文末评论催更一下，若是有感兴趣的能够后面把代码补充上。

结语

到这里，大数的加减乘除基本都讲解完啦，不知道你有没有收获，由于这里的大数都是用字符串的方式存储和处理，遇到的最多，可是也可能遇到一些链表、数组等其余形式存储的须要处理，可是总体的思想都是同样的。

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